Chap 5 Techniques de calcul de primitives

Flashcards de vocabulaire et définitions essentielles sur les techniques de calcul de primitives (cours BCPST1, Chapitre 05).

Primitive s'annulant en un point (Théorème 1)

Pour une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$, c'est l'unique primitive de $f$ nulle en $a$, donnée par l'application $F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$.

Fonction de classe $\mathcal{C}^1$

Fonction définie sur un intervalle $I$ (ou une réunion d'intervalles) qui est dérivable sur $I$ et dont la dérivée est continue.

Fonction de classe $\mathcal{C}^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)

Fonction qui est $n$-fois dérivable sur un intervalle et dont la dérivée $n$-ième est continue (le cas $n = 0$ désignant une fonction continue).

Fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$

Fonction indéfiniment dérivable.

Ensemble des primitives d'une fonction (Remarque 1)

Ensemble obtenu en ajoutant une constante arbitraire à une primitive connue de la fonction $f$.

Intégration par parties (Théorème 2)

Formule reliant deux fonctions $u$ et $v$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ : $\int_a^b u'v = [uv]_a^b - \int_a^b uv'$.

Changement de variable (Théorème 3)

Formule applicable pour $f$ continue sur $I$ et $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ à valeurs dans $I$ : $\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f = \int_a^b \varphi' \times (f \circ \varphi)$.

Primitive de $x \mapsto \tan(x)$

Fonction donnée par $x \mapsto -\ln(|\cos(x)|)$ sur l'ensemble $I = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + n\pi ; n \in \mathbb{Z}\right\}$.

Primitive de $x \mapsto \frac{1}{1 + x^2}$

Fonction donnée par $x \mapsto \arctan(x)$ sur $I = \mathbb{R}$.

Primitive de $x \mapsto \frac{1}{1 - x^2}$

Fonction donnée par $x \mapsto \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1 + x}{1 - x}\right|$ sur $I = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

Primitive de $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Fonction donnée par $x \mapsto \arcsin(x)$ sur l'intervalle $I = ]-1, 1[$.

Primitive de $x \mapsto P(x)e^{\alpha x}$ ($P \in \mathbb{C}[X]$, $\alpha \in \mathbb{C}^*$)

Expression de la forme $Q(x)e^{\alpha x} + \text{Cste}$, où $Q \in \mathbb{C}[X]$ est un polynôme tel que $\deg(Q) = \deg(P)$.

Primitive de $x \mapsto P(x)\sin(\beta x)$ ($P \in \mathbb{R}[X]$, $\beta \in \mathbb{R}^*$)

Expression de la forme $A(x)\cos(\beta x) + B(x)\sin(\beta x) + \text{Cste}$, où $A$ et $B$ sont des polynômes de $\mathbb{R}[X]$ de degré inférieur ou égal à $\deg(P)$.

Changement de variable en $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Substitution trigonométrique rationnelle où $\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}$, $\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ et $dx = \frac{2}{1 + t^2}\,dt$.

Intégrale de la forme $\int \cos^m(x)\sin^n(x)\,dx$ ($m$ impair)

Intégrale se calculant à l'aide du changement de variable $u = \sin(t)$.

Intégrale de la forme $\int \cos^m(x)\sin^n(x)\,dx$ ($n$ impair)

Intégrale se calculant à l'aide du changement de variable $u = \cos(t)$.

Intégrale de la forme $\int \cos^m(x)\sin^n(x)\,dx$ ($m$ et $n$ pairs)

Intégrale se calculant par linéarisation de l'expression trigonométrique avant de primitiver.

Primitive d'une fonction homographique

Résolution obtenue en décomposant la fonction $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($a \neq 0$ et $ad - bc \neq 0$) sous la forme $\alpha + \frac{\beta}{cx + d}$.