Mathématiques Classe de 3ème - Trimestre 1 (Cycle 4)

Fiches de vocabulaire et de notions fondamentales couvrant les puissances, la notation scientifique, les agrandissements/réductions, les statistiques, les identités remarquables, les équations produits nuls et les inéquations au programme de mathématiques de 3ème.

Puissance d'un nombre ($a^n$)

Produit de $n$ facteurs tous égaux au nombre relatif $a$ : $a^n = a \times a \times a \times \dots \times a$ (avec $n$ facteurs $a$).

Puissance d'exposant négatif ($a^{-n}$)

Inverse de $a^n$ pour tout nombre non nul $a$ et tout entier $n$ : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, avec en particulier $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Cas particuliers des puissances ($a^1$, $a^0$, $0^n$, $1^n$)

Pour tout nombre $a$ : $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$). Pour tout nombre entier positif $n$ non nul : $0^n = 0$ et $1^n = 1$.

Produit de puissances d'un même nombre

Règle de calcul selon laquelle, pour tout nombre relatif $a$ et entiers relatifs $m$ et $n$ : $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

Quotient de puissances d'un même nombre

Règle de calcul selon laquelle, pour tout nombre relatif non nul $a$ et entiers relatifs $m$ et $n$ : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Puissance d'une puissance

Règle de calcul selon laquelle, pour tout nombre relatif $a$ et entiers relatifs $m$ et $n$ : $(a^m)^n = a^{m \times n}$.

Puissance d'un produit

Règle de calcul selon laquelle, pour tous nombres relatifs $a$ et $b$ et tout entier relatif $n$ : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$.

Puissance d'un quotient

Règle de calcul selon laquelle, pour tout nombre relatif $a$, tout nombre relatif non nul $b$ et tout entier relatif $n$ : $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Écriture scientifique

Écriture d'un nombre sous la forme $a \times 10^n$, où $a$ est un nombre décimal compris entre 1 inclus et 10 exclu ($1 \le a < 10$) et $n$ est un nombre entier relatif.

Préfixes de puissances positives (kilo, méga, giga, téra)

Multiples décimaux désignant respectivement : kilo ($10^3$), méga ($10^6$), giga ($10^9$) et téra ($10^{12}$).

Préfixes de puissances négatives (milli, micro, nano, pico)

Sous-multiples décimaux désignant respectivement : milli ($10^{-3}$), micro ($10^{-6}$), nano ($10^{-9}$) et pico ($10^{-12}$).

Agrandissement et réduction (effet sur les grandeurs)

Transformation géométrique de rapport $k$ ($k > 0$) multipliant les longueurs par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$, tout en conservant la mesure des angles.

Étendue d'une série statistique

Différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur d'une série statistique : $\text{Étendue} = \text{Plus grande valeur} - \text{Plus petite valeur}$.

Médiane d'une série statistique

Valeur qui partage une série statistique ordonnée en deux groupes de même effectif, de sorte qu'il y ait autant de valeurs inférieures ou égales que de valeurs supérieures ou égales à cette valeur.

Moyenne pondérée

Quotient de la somme des produits de chaque valeur par son effectif (ou coefficient) par l'effectif total de la série statistique.

Développer une expression

Action de transformer un produit en une somme ou en une différence.

Factoriser une expression

Action de transformer une somme ou une différence en un produit.

Distributivité simple

Propriété du calcul littéral s'énonçant : $k(a+b) = ka+kb$ et $k(a-b) = ka-kb$.

Double distributivité

Propriété du calcul littéral s'énonçant : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.

Carré d'une somme

Première identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Carré d'une différence

Deuxième identité remarquable : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Produit d'une somme par une différence

Troisième identité remarquable : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Équation produit nul

Équation de la forme $(E_1) \times (E_2) = 0$, résolue à l'aide de la règle : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul ($a \times b = 0 \iff a = 0 \text{ ou } b = 0$).

Inéquation du premier degré

Inégalité contenant une inconnue $x$ ; sa résolution consiste à déterminer l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ vérifiant cette inégalité.

Règle de multiplication ou division d'une inéquation

Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement positif conserve le sens de l'inégalité ; multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change (inverse) le sens de l'inégalité.