1. Zwischentest Mathe 3 Theorie

1. Sei G ⊆ C ein Gebiet. Wann heißt eine Funktion f: G → C im Punkt p ∈ G komplex differenzierbar, wann heißt f analytisch?

• komplex differenzierbar:

• lim _{z→ z0} (f(z)-f(z0))/(z-z0)

• = lim _h→0 (f(z+h)-f(z))/h

• analytisch:

• f auf alle Punkte in G komplex diffbar.

2. Zeigen Sie: Ist f = u+iv analytisch, so stehen die Bildkurven der Geraden x = const und y = const an jeder Stelle mit f′(z) ̸ = 0 senkrecht aufeinander, das kartesische Koordinatennetz wird also auf ein orthogonales Kurvennetz abgebildet. (Satz 12.2, 12.1.2)

3. Was bedeutet es, dass u und v konjugiert harmonische Funktionen sind? Zeigen Sie, dass Real- und Imaginärteil einer analytischen Funktion f = u + iv harmonisch sind, d.h. uxx +uyy = 0 und vxx +vyy = 0. (Satz 12.4, 12.1.2)

• konjugiert harmonisch:

• u,v sind mit CR-DGL verbunden und erfüllen beide uxx+uyy=0

• Real- und Imaginärteil:

• ux=vy

• → uxy=vyy

• → uxx=vyx

• uy=-vx

• → -uyx= vxx

• → uyy=-vxy

• → → vyy+vxx= uxy-uyx = 0 (uxy=uyx → wegen der analytischen fkt.)

• → → uxx+uyy= vyx-vxy= 0

4. Formulieren Sie den Integralsatz von Cauchy (und Goursat) und beweisen Sie ihn unter der Zusatzvoraussetzung, dass u und v stetige partielle Ableitungen haben (Integralsatz von Green). (Satz 12.11, 12.3.2)

• für f: G → Ⅽ

• f analytisch

• G einfach zusammenhängend

• C geschlossener Integrationsweg in G

• ∮_C f(z) dz = 0

• Beweis: Integralsatz von Green

• CR-DGL einsetzen

• → beide Integranden = 0

5. Was versteht man unter der Wegunabhängigkeit eines komplexen Kurvenintegrals? Wie hängt sie mit der Existenz einer Stammfunktion zusammen? (Satz 12.12, 12.3.3)

• wenn f analytisch

• C1,C2 in G stetig ineinander deformierbar ( gleicher Start- und Endpunkt)

• ∫_C1 f(z) dz = ∫_C2 f(z) dz

• ∃ F → F´=f : ∫_C f(z) dz = F(q)-F(p)

• → dann gilt die Wegunabhängigkeit weil nur Start- und Endpunkt relevant sind

6. Formulieren und beweisen Sie die Cauchysche Integralformel. (Satz 12.13, 12.3.4)

• f: G → /C analytisch

• C positiv orientiert und einfach geschlossen in G

• f(z) = 1/(2ipi) *∫_C f(w)/(w-z) dw

• Beweis:

• z aus D und r > 0

• C_r : w(t) = z+r*e^it t aus [0,2pi] in D

7. Formulieren Sie die Sätze über die Taylorentwicklung einer analytischen Funktion. (Sätze 12.15, 12.16, 12.3.5)

• f: G → C analytisch

• p aus G und {[z-p]<r aus G

• f(z) = ∑(z-p)ⁿ * a_n

• Cr pos. orientiert [w-p] = r

7. Formulieren Sie die Sätze über die Laurententwicklung einer analytischen Funktion. (Sätze 12.15, 12.16, 12.3.5)

8. Was ist eine Laurentreihe, was eine Polstelle m-ter Ordnung? Definieren Sie das Residuum einer Funktion (Definition, nicht Berechnungsformel). Wie berechnet man das Residuum an einer Polstelle m-ter Ordnung? (12.3.5)

9. Formulieren Sie den Residuensatz mit allen Voraussetzungen.

• f: G → C analytisch

• C positiv orientierter einfach geschlossener Integrationsweg

• Inneres von C besitzt endlich viele Stellen p0, …; pn

• ∫_C f(z) dz = i2pi * ∑ Res(f(z), p)

10. Unter welchen Voraussetzungen lässt sich ∫_-♾️^♾️f(x)dx mit dem Residuensatz berechnen, und wie lautet das Ergebnis? Skizzieren Sie den Beweis (Halbkreisweg, Abschätzung des Integrals über den Halbkreisbogen). (Satz 12.18, 12.

• f: G→ C analytisch

• bis auf endlich viele Polstellen mit Im(pk) > 0

• f(z) <= c/(z²) [c_ Konstante] für große z mit Im(z)>=0 → Wachstumsbedingung, das die Funktion gegen = konvergiert und nicht unendlich

• ∫_-♾♾f(x)dx = 1/2pii ∑ Res(f,pk)