chapitre 10 biophysique: les ondes acoustiques ou vibrations mecaniques

Qu'est-ce qu'une onde acoustique (sons et ultrasons), et dans quel type de milieu se propage-t-elle ?

​Ce sont des déplacements des plans moléculaires par rapport à leur position d'origine (propagation de proche en proche).

​Elle se propage uniquement dans un milieu matériel (pas dans le vide).

Selon quels modes de propagation se déplacent les ondes élastiques dans les fluides et dans les solides ?

​Dans le sens longitudinal pour les fluides.

​Dans le sens longitudinal et transversal (perpendiculaire) pour les solides.

Quelle est la classification des ondes selon l'oreille humaine et quel est le domaine d'utilisation médicale des ultrasons ?

Infrasons : $f < 20\text{ Hz}$

​Sons : $20\text{ Hz} < f < 20\text{ kHz}$

​Ultrasons (US) : $f > 20\text{ kHz}$

​Domaine médical des US : $1 - 20\text{ MHz}$

Quelle est l'expression mathématique d'un son pur (ou onde simple), et que signifient ses termes ?

​Expression : $x = x_0 \sin(\omega t + \phi)$.

​$x_0$ : élongation maximale.

​$\omega$ : pulsation (en rad/s).

​$\phi$ : phase d'origine (en radians).

Comment définit-on la période $T$ et la fréquence $f$ d'un son pur, et quelle est la relation qui les lie ?

​Période ($T$) : temps nécessaire pour que l'onde revienne à son point de départ $(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{f})$.

​Fréquence ($f$) : nombre de vibrations émises en une seconde ($f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$).

Comment s'exprime la vitesse de déplacement $v$ d'une particule par rapport au temps, et en quels points atteint-elle son maximum ou s'annule-t-elle ?

Vitesse de déplacement : $v = \frac{dx}{dt} = x_0 \omega \cos(\omega t + \phi)$.

​Maximum ($v_{max} = x_0 \omega$) : atteint à la position d'équilibre ($x = 0$).

​Nulle ($v = 0$) : atteinte aux positions extrêmes ($x = \pm x_0$).

De quoi dépend la vitesse de propagation $c$ d'une onde dans un milieu, et quelles sont les valeurs de $c$ dans l'air et dans l'eau ?

​Formule : $c = \sqrt{\frac{k}{\rho}}$, avec $k$ l'élasticité (résistance à la pression) et $\rho$ la masse volumique.

​Valeurs : $c_{\text{air}} = 340\text{ m/s}$ et $c_{\text{eau}} = 1430\text{ m/s}$.

Comment s'exprime le retard $\Delta t$ d'une onde pour un plan situé à une distance $y$, et quelle est l'équation de l'onde $x(t,y)$ qui en découle ?

​Le retard est $\Delta t = \frac{y}{c}$ par rapport à l'origine.

​L'équation de l'onde est : $x(t,y) = x_0 \sin\left[\omega\left(t - \frac{y}{c}\right) + \phi\right].$

Qu'est-ce que la longueur d'onde $\lambda$, et quelles sont les différentes relations permettant de la calculer ?

​Définition : distance séparant des plans du milieu ayant la même amplitude au même instant.

​Formules : $\lambda = \frac{2\pi c}{\omega} = \frac{c}{f} = cT.$

Qu'est-ce que l'impédance acoustique $Z$, quelle est la relation liant la pression acoustique $P$ à la vitesse $v$, et quelles sont ses valeurs caractéristiques dans l'air et dans l'eau ?

​$Z$ est l'impédance acoustique caractéristique du milieu (en $\text{kg}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}$).

​Relation : $P = -Zv$ (avec $P = k \frac{dx(t,y)}{dy} = \rho c^2 \frac{dx}{dy}$).

​Valeurs : $Z(\text{air}) = 440\text{ kg}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}$ et $Z(\text{eau}) = 1,5 \times 10^6\text{ kg}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}$ (cette impédance dépend de la température).

Quel est l'impact d'une augmentation de la fréquence de l'onde sur la pression acoustique, et quel risque biologique cela présente-t-il ?

Plus la fréquence augmente, plus la pression acoustique $P$ augmente, ce qui crée des surpressions et des dépressions locales au passage de l'onde.

​Risque : il peut y avoir des risques d'éclatement de cellules.

Qu'appelle-t-on la sonification et quels en sont les usages basés sur les surpressions des ultrasons ?

​C'est une technique de destruction basée sur les surpressions des ultrasons.

​Utilisations : nettoyage des instruments chirurgicaux, détartrage, vaporisation et lithotripsie.

Quelle est l'expression de l'énergie acoustique totale $E_t$ d'un système vibrant en fonction de la masse $m$, de l'élongation maximale $x_0$ et de la fréquence $f$ ?

$E_t = \frac{1}{2} mv^2 = 2\pi^2 f^2 x_0^2 m$.

Comment s'exprime la puissance acoustique $W$ (puissance surfacique) et comment varie-t-elle en fonction de la fréquence $f$ ?

​Expression : $W = 0,5 Z x_0^2 \omega^2 = 2\pi^2 f^2 Z x_0^2$.

​Elle varie en fonction de $f^2$ (si la fréquence $f$ est multipliée par 2, la puissance $W$ est multipliée par 4).

Quelle est la formule du niveau acoustique en décibels (dB) et quelle est la valeur de référence du seuil d'audibilité à $1000\text{ Hz}$ ?

Formule : $W(\text{en dB}) = 10 \log\left(\frac{W}{10^{-12}}\right)$.

​Le seuil d'audibilité de référence est de $10^{-12}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$.

Les décibels sont-ils additifs ? Que se passe-t-il pour le niveau en décibels si la puissance acoustique est multipliée par 2 ?

​Les décibels ne sont pas additifs.

​Si la puissance est multipliée par 2, le nombre de décibels augmente de 3.

Comment évolue la puissance acoustique d'une source ponctuelle dans un milieu homogène, et en quoi consiste le principe du stéthoscope ?

​Elle diminue en $\frac{1}{d^2}$ car la surface de l'onde sphérique augmente.

​À distance, l'onde forme une surface presque plane qui peut être « canalisée », ce qui correspond au principe du stéthoscope.

Quels phénomènes observe-t-on lors de la propagation d'une onde à travers des hétérogénéités selon qu'elles sont de grandes ou de petites dimensions par rapport à la longueur d'onde $\lambda$ ?

Grandes dimensions : propagation avec un effet « d'ombre ».

​Petites dimensions : diffraction, avec pour conséquence la création de nouvelles sources sonores.

Quel est l'effet d'une augmentation de la fréquence sur la résolution spatiale (pouvoir de séparation de deux points voisins) ?

Si la fréquence augmente, il y a une augmentation de la résolution spatiale.

Quelles relations régissent la réflexion et la transmission d'une onde à l'interface entre deux milieux semi-finis ($Z_1, c_1 et Z_2, c_2$) en incidence normale?

​Continuité de la pression et de la vitesse : $P_t = P_i + P_r$ et $V_t = V_i - V_r = \frac{P_t}{Z_2} = \left(\frac{P_i}{Z_1}\right) - \left(\frac{P_r}{Z_1}\right)$.

​Rapport des pressions : $\frac{P_r}{P_i} = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}.$

Comment s'expriment les coefficients du taux de réflexion $R$ et du taux de transmission $T$ en fonction des impédances acoustiques $Z_1 et Z_2$?

​Taux de réflexion : $R = \frac{W_r}{W_i} = \left(\frac{P_r}{P_i}\right)^2 = \frac{(Z_2 - Z_1)^2}{(Z_2 + Z_1)^2}.$

​Taux de transmission : $T = 1 - R = \frac{W_t}{W_i} = \frac{4Z_1 Z_2}{(Z_2 + Z_1)^2}.$

Qu'est-ce que l'absorption d'une onde acoustique par le milieu, et de quoi dépend le coefficient d'absorption $\alpha$?

C'est une partie de l'énergie transportée qui est absorbée par le milieu et dissipée sous forme de chaleur ($x(y) = x_0 e^{-\alpha y}$).

​Le coefficient $\alpha$ dépend de la viscosité du milieu et de la fréquence $f$ ($\alpha$ augmente quand $f$ augmente).

Quel est le principe de l'effet Doppler dans le cas d'un émetteur fixe et d'un récepteur mobile s'éloignant à la vitesse $v$?

L'expression de la fréquence perçue $f$' est : $f' = f\left(1 - \frac{v}{c}\right)$.

​Si $v > 0, f'$ diminue $(f' < f)$ lors de l'éloignement du récepteur $R$.

Dans le cas général de l'effet Doppler (émetteur et détecteur confondus, comme pour les globules rouges), quelle est la formule générale reliant la variation de fréquence mesurée à la vitesse $v$?

​La projection de la vitesse sur l'axe est $v \cos(\alpha)$.

​La formule pour un double parcours (réflexion des US sur des structures mobiles) est : $\frac{f' - f}{f} = \frac{-2 v \cos(\alpha)}{c}$.

Quels sont les principaux effets biologiques et risques liés à l'exposition à un son aigu (fatigue auditive, effet de masque, phénomène de Blast) ?

Fatigue auditive : diminution de l'audition pouvant durer jusqu'à 24h après une exposition de 15 min à $110\text{ dB}$ (le seuil de douleur est à $120\text{ dB}$).

​Effet de masque : diminution de la détection des fréquences élevées par les fréquences basses.

​Phénomène de Blast : déchirure du tympan si la vibration mécanique est beaucoup plus intense et brutale.

Quels sont les effets biologiques spécifiques provoqués par les ultrasons (effet thermique, variations de pression, triboluminescence) ?

Effet thermique : à quelques MHz, échauffement de $3^\circ\text{C/min}$ pour une puissance de $1\text{ W/cm}^2$.

​Variations de pressions : création de pressions considérables (par exemple, environ $11\text{ atm}$ à $1\text{ MHz}$ et $10\text{ W/cm}^2)$.

​Triboluminescence : excitation des électrons de certains matériaux par apport d'énergie (photons ou ultrasons), ce qui provoque de la lumière.

Que énonce le théorème de Fourier concernant les sons périodiques complexes ou musicaux ?

Toute fonction périodique de fréquence $f$ peut être décomposée de façon unique en une somme de fonctions sinusoïdales de fréquences $f, 2f, 3f...$ (autrement dit, un son complexe équivaut à une somme de sons purs).

Quelle est l'expression mathématique générale d'un signal selon la décomposition de Fourier, et que désignent le fondamental et les harmoniques ?

​Expression : $g(t) = a_0 + \sum_{i=1}^{n} a_i \sin(2\pi f_i t + \phi_i)$.

​Pour $i = 1 : f_1$ est la fréquence fondamentale.

​Pour $i \neq 1$ : ce sont les harmoniques.

Qu'est-ce que le spectre d'amplitude en analyse harmonique et à quoi sert-il ?

C'est la représentation graphique des composantes fréquentielles de $g(t)$, qui permet de définir le timbre d'un son (ou d'une note).

Qu'est-ce qu'une octave et comment est-elle divisée dans la gamme chromatique (notamment concernant la note de référence fixée en 1953) ?

L'intervalle séparant $f$ et $2f$ est une octave.

​Dans la gamme chromatique, l'octave est séparée en 12 intervalles à peu près identiques correspondant aux demi-tons (7 notes).

​La note de référence est habituellement le "la" (10ème demi-ton) de l'octave 3, fixé à la fréquence de $440\text{ Hz}$ lors de la conférence de Londres en 1953.

Comment se mesure l'écart de fréquence $H$ en Savart (Sv) et quelle est sa valeur pour une octave ?

​Formule : $H = 1000 \log\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$ (avec $f_2 = f$ et $f_1 = f$).

​Pour une octave : $H(1\text{ octave}) = 1000 \log(2) \approx 300\text{ Sv}$.

Qu'observe-t-on lors de la superposition de deux vibrations $x_1$ et $x_2$ de même amplitude et de fréquences très proches (différant de $2\varepsilon$) ?

La vibration somme ($x_1 + x_2$) correspond à une vibration de fréquence $f$ (moyenne de $f_1$ et $f_2$) et d'amplitude variable, au maximum $2x_0$, modulée par la fréquence lente $\varepsilon$.

Qu'est-ce qu'une onde stationnaire (résultant de deux vibrations identiques mais de directions opposées) et que se passe-t-il pour sa propagation ?

​La vibration résultante ne se propage plus selon l'axe $y$.

​L'amplitude est maximale pour $y = \frac{c}{2f} = \lambda$ ou $y = \frac{c}{2f}$ (égale à $\pm x_0$).

​L'amplitude est nulle pour $y = \frac{(2n+1)\lambda}{4}$.

À quoi correspondent les sons non périodiques au sens physique, et quelle est l'allure de leur spectre d'amplitude ?

Ils correspondent au bruit (sens physique).

​Le spectre d'amplitude montre un spectre en fréquence discontinu (bruit musical) ou continu, d'autant plus large que le son est bref.

Quelles sont les caractéristiques des deux cas particuliers de sons non périodiques : le bruit blanc et les transitoires ?

Bruit blanc : son d'une grande étendue de fréquence et d'amplitude identique.

​Transitoires : apparaissent lors de l'établissement (ou de l'extinction) d'un son par un instrument ; spectre continu s'affinant progressivement sur la raie fréquentielle (ou inversement).

Comment s'effectue la détection humaine des sons et quel est le rôle particulier de l'oreille moyenne ?

​Elle fait intervenir l'oreille externe, l'oreille moyenne et l'oreille interne.

​L'oreille moyenne joue le rôle d'adaptateur d'impédance entre l'oreille externe aérienne et l'oreille interne liquidienne.

Quelles sont les étapes de conversion d'un son par un système électromagnétique de détection (microphone) ?

Onde sonore $\rightarrow$ Membrane $\rightarrow$ Bobine mobile $\rightarrow$ Aimant (loi de Laplace) $\rightarrow$ Signal électrique.

Quels sont les différents systèmes permettant la production des sons (humaine, électromagnétique et instruments de musique) et leurs principes respectifs ?

Production humaine : cage thoracique (débit d'air), larynx (vibration des cordes vocales), et cavités du larynx (résonateurs à parois fixes et mobiles).

​Système électromagnétique (haut-parleur) : système électrique se propageant dans la bobine $\rightarrow$ aimant $\rightarrow$ déplacement $\rightarrow$ vibration de la membrane à son.

​Instruments de musique : propagation de la vibration d'un solide (instruments à cordes, piano, cloche) ou déplacement d'air dans un conduit (cuivres, orgue, flûtes).

Qu'est-ce que l'effet piézo-électrique (découvert par Pierre et Jacques Curie en 1880), et quel matériau naturel en est un exemple classique ?

​C'est la transformation réversible et linéaire entre l'énergie électrique et l'énergie mécanique.

​Exemple classique : le cristal de quartz ($\text{SiO}_2$).

Comment fonctionne un transducteur piézo-électrique à l'émission et à la réception, et quelle épaisseur $e$ permet d'obtenir une vibration maximale ?

​Émission : l'application d'une différence de potentiel alternative génère une onde ultrasonore (impulsion de quelques $\mu\text{s}$).

​Réception : la réception d'une onde ultrasonore fait apparaître une différence de potentiel alternative.

​Condition d'épaisseur : la vibration est plus ample pour la fréquence propre de la lame lorsque son épaisseur vaut $e = \frac{\lambda}{2}$ (puis pour les multiples impairs : $3\lambda, 5\lambda...$).

Quelles sont les deux céramiques principales utilisées actuellement à la place du quartz pour l'échographie ?

​Le titanate-zirconate de plomb : $\text{Pb}(\text{Zr}_{1/2}\text{Ti}_{1/2})\text{O}_3$.

​Le titanate de baryum : $\text{BaTiO}_3$.

Quelles sont les deux phases du principe de fonctionnement de l'échographie (avec leurs ordres de grandeur temporels) ?

Phase d'émission (environ $2\ \mu\text{s}$) : impulsion électrique $\rightarrow$ transducteur $\rightarrow$ impulsion mécanique (US) $\rightarrow$ tissus $\Rightarrow$ réflexion des US.

​Phase de réception (quelques $\text{ms}$) : détection des US $\rightarrow$ transducteur $\rightarrow$ signal électrique $\rightarrow$ traitement et visualisation.