Ensembles, Applications et Relations

Fiches de vocabulaire et définitions mathématiques fondamentales sur les ensembles, les applications et les relations binaires (relations d'équivalence et d'ordre).

Ensemble

Collection d'objets appelés éléments.

Ensemble vide

Ensemble ne contenant aucun élément, noté $\emptyset$.

Singleton

Ensemble contenant exactement un seul élément.

Paire

Ensemble contenant exactement deux éléments.

Appartenance

Relation notée $x \in E$, indiquant que $x$ est un élément constitutif de l'ensemble $E$.

Description en extension

Définition d'un ensemble par l'énumération directe de ses éléments entre accolades, par exemple $A = \{1, 3, 5, 7\}$.

Description en compréhension

Définition d'un ensemble par une propriété caractéristique que vérifient ses éléments, de la forme $\{x \in E \mid P(x)\}$.

Inclusion

Relation entre deux ensembles notée $E \subset F$, équivalente à $(\forall x, x \in E \Rightarrow x \in F)$, signifiant que tout élément de $E$ est un élément de $F$.

Partie d'un ensemble

Tout ensemble $F$ inclus dans un ensemble $E$ ($F \subset E$).

Ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$

Ensemble constitué de tous les sous-ensembles de $E$. Si $E$ possède $n$ éléments, son cardinal est $2^n$.

Égalité d'ensembles

Propriété notée $E = F$, définie par $(\forall x, x \in E \Leftrightarrow x \in F)$, ou caractérisée par la double inclusion $(E \subset F \text{ et } F \subset E)$.

Intersection ($A \cap B$)

Ensemble des éléments communs à $A$ et $B$, défini par $x \in A \cap B \Leftrightarrow (x \in A \text{ et } x \in B)$.

Union ($A \cup B$)

Ensemble des éléments appartenant à $A$, à $B$, ou aux deux, défini par $x \in A \cup B \Leftrightarrow (x \in A \text{ ou } x \in B)$.

Différence ($A \setminus B$)

Ensemble des éléments de $A$ qui n'appartiennent pas à $B$, caractérisé par $x \in A \setminus B \Leftrightarrow (x \in A \text{ et } x \notin B)$.

Complémentaire (de $A$ dans $E$)

Ensemble noté $\complement_E A = E \setminus A = \overline{A} = A^c$, vérifiant $x \in \overline{A} \Leftrightarrow x \notin A$.

Lois de De Morgan

Relations ensemblistes énonçant que $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ et $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$.

Partition d'un ensemble

Famille $(A_i)_{i \in I}$ de parties de $E$ vérifiant : $\forall i \in I, A_i \neq \emptyset$, $\bigcup_{i \in I} A_i = E$, et $\forall (i, j) \in I^2, i \neq j \Rightarrow A_i \cap A_j = \emptyset$.

Recouvrement disjoint

Famille $(A_i)_{i \in I}$ telle que $E \subset \bigcup_{i \in I} A_i$ et dont les $A_i$ sont deux à deux disjoints (contrairement à la partition, il peut déborder de $E$ ou contenir des parties vides).

Produit cartésien ($E_1 \times E_2 \times \dots \times E_n$)

Ensemble des $n$-uplets $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ où $x_i \in E_i$ pour tout $1 \le i \le n$.

Application

Objet mathématique $f : E \to F$ qui à chaque élément $x \in E$ (ensemble de départ) associe un unique élément $f(x) \in F$ (ensemble d'arrivée).

Image (d'un élément)

Pour $x \in E$, élément unique $f(x) \in F$ associé à $x$ par l'application $f$.

Antécédent

Pour $y \in F$, tout élément $x \in E$ tel que $y = f(x)$. Un élément de l'ensemble d'arrivée peut en posséder zéro, un ou plusieurs.

Graphe d'une application

Sous-ensemble de $E \times F$ défini par $\Gamma_f = \{(x, f(x)), x \in E\} = \{(x, y) \in E \times F \mid y = f(x)\}$.

Image d'une application ($\operatorname{Im}(f)$)

Ensemble des éléments de $F$ qui possèdent au moins un antécédent par $f$, soit $\operatorname{Im}(f) = \{f(x), x \in E\}$.

Application bien définie

Propriété d'une correspondance $f : E \to F$ s'assurant que $\forall x \in E, f(x) \in F$, c'est-à-dire $\operatorname{Im}(f) \subset F$.

Ensemble de définition ($D_f$)

Ensemble des éléments de l'ensemble de départ pour lesquels l'expression $f(x)$ a un sens : $D_f = \{x \in E \mid f(x) \text{ est défini}\}$.

Famille d'éléments indexée sur $I$

Autre appellation d'une application de $I$ dans $E$. L'ensemble de ces familles se note $E^I$.

Suite réelle

Application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ ou famille d'éléments de $\mathbb{R}$ indexée sur $\mathbb{N}$, l'ensemble de ces suites étant noté $\mathbb{R}^\mathbb{N}$.

Égalité de deux applications

Deux applications $f$ et $g$ sont égales si elles ont le même ensemble de départ, le même ensemble d'arrivée et le même graphe ($\forall x \in E, f(x) = g(x)$).

Fonction indicatrice ($\mathbb{1}_A$)

Application de $E$ dans $\{0, 1\}$ associée à $A \subset E$, valant $1$ si $x \in A$ et $0$ si $x \notin A$.

Composée d'applications ($g \circ f$)

Pour $f : E \to F$ et $g : F \to G$, application de $E$ dans $G$ définie par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$, où l'on applique d'abord $f$, puis $g$.

Applications qui commutent

Deux applications $f$ et $g$ satisfaisant la relation $f \circ g = g \circ f$.

Application identique ($\operatorname{Id}_E$)

Application de $E$ dans $E$ définie par $\operatorname{Id}_E(x) = x$. Elle sert d'élément neutre pour la composition : $\operatorname{Id}_F \circ f = f \circ \operatorname{Id}_E = f$.

Image directe ($f(A)$)

Pour $A \subset E$, ensemble des images des éléments de $A$ : $f(A) = \{y \in F \mid \exists x \in A, y = f(x)\}$.

Image réciproque ($f^{-1}(B)$)

Pour $B \subset F$, ensemble des antécédents des éléments de $B$ : $f^{-1}(B) = \{x \in E \mid f(x) \in B\}$.

Restriction d'une application ($f_{|A}$)

Pour $A \subset E$, application de $A$ dans $F$ définie par $x \mapsto f(x)$. Elle est unique pour un sous-ensemble $A$ donné.

Prolongement d'une application

Pour $A \supset E$, toute application $g : A \to F$ vérifiant $g_{|E} = f$.

Corestriction d'une application

Pour $B \subset F$ tel que $\operatorname{Im}(f) \subset B$, application $f^{|B} : E \to B$ définie par $x \mapsto f(x)$.

Application injective

Application telle que tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au plus un antécédent, ou de manière équivalente $\forall x, x' \in E, f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'$.

Application surjective

Application telle que tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent, c'est-à-dire $\operatorname{Im}(f) = F$.

Application bijective

Application à la fois injective et surjective, ce qui signifie que tout élément de l'ensemble d'arrivée admet un unique antécédent ($\forall y \in F, \exists! x \in E, y = f(x)$).

Bijection réciproque ($f^{-1}$)

Pour une bijection $f : E \to F$, unique application $f^{-1} : F \to E$ qui associe à chaque élément de $F$ son unique antécédent par $f$.

Théorème de la bijection monotone

Théorème assurant que toute fonction $f : I \to \mathbb{R}$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$.

Involution

Application $f : E \to E$ telle que $f \circ f = \operatorname{Id}_E$. Elle est toujours bijective et vérifie $f^{-1} = f$.

Relation binaire

Sous-ensemble $\mathcal{R}$ du produit cartésien $E^2$. On note $x\mathcal{R}y$ pour signifier $(x, y) \in \mathcal{R}$.

Relation réflexive

Propriété d'une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ vérifiant $\forall x \in E, x\mathcal{R}x$.

Relation symétrique

Propriété d'une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ vérifiant $\forall (x, y) \in E^2, x\mathcal{R}y \Leftrightarrow y\mathcal{R}x$.

Relation antisymétrique

Propriété d'une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ vérifiant $\forall (x, y) \in E^2, (x\mathcal{R}y \text{ et } y\mathcal{R}x) \Rightarrow x = y$.

Relation transitive

Propriété d'une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ vérifiant $\forall (x, y, z) \in E^3, (x\mathcal{R}y \text{ et } y\mathcal{R}z) \Rightarrow x\mathcal{R}z$.

Relation d'équivalence

Relation binaire à la fois réflexive, symétrique et transitive.

Classe d'équivalence ($\operatorname{Cl}(a)$)

Pour $a \in E$, ensemble des éléments en relation d'équivalence avec $a$ : $\operatorname{Cl}(a) = \{x \in E \mid x\mathcal{R}a\}$.

Relation d'ordre

Relation binaire notée $\preceq$ qui est à la fois réflexive, antisymétrique et transitive.

Ordre total

Relation d'ordre pour laquelle tous les éléments sont comparables deux à deux : $\forall (x, y) \in E^2, x \preceq y \text{ ou } y \preceq x$.

Ordre partiel

Relation d'ordre qui n'est pas totale, c'est-à-dire où il existe au moins deux éléments non comparables.

Minorant

Élément $m \in E$ vérifiant $\forall x \in A, m \preceq x$, pour une partie $A \subset E$.

Majorant

Élément $m \in E$ vérifiant $\forall x \in A, x \preceq m$, pour une partie $A \subset E$.

Partie bornée

Sous-ensemble d'un ensemble ordonné qui est à la fois minoré et majoré.

Minimum ($\min A$)

Élément qui est à la fois un minorant de $A$ et un élément appartenant à $A$. S'il existe, il est unique.

Maximum ($\max A$)

Élément qui est à la fois un majorant de $A$ et un élément appartenant à $A$. S'il existe, il est unique.

Borne inférieure ($\inf A$)

Plus grand élément de l'ensemble des minorants de $A$, s'il existe.

Borne supérieure ($\sup A$)

Plus petit élément de l'ensemble des majorants de $A$, s'il existe.