Introduzione e Concetti Generali di Statistica

Flashcard di vocabolario basate sui concetti fondamentali di statistica descrittiva e analisi dell'associazione tratte dal materiale didattico fornito.

Statistica (definizione formale)

Disciplina di carattere metodologico che ha per oggetto l'analisi dei fenomeni collettivi dotati di variabilità.

Fenomeno collettivo

Fenomeno il cui studio riguarda una pluralità di soggetti od oggetti definiti unità statistiche.

Unità statistica

Unità elementare omogenea che costituisce l'oggetto di osservazione e di analisi di un fenomeno statistico.

Popolazione statistica

L'insieme delle unità statistiche omogenee rispetto a una o più caratteristiche (detta anche universo o collettivo).

Statistica descrittiva

Branca della statistica in cui i caratteri statistici vengono osservati per tutte le $N$ unità della popolazione (censimento) al fine di descriverla completamente.

Inferenza statistica

Insieme di strumenti statistici usati per risalire alle caratteristiche dell'intera popolazione tramite induzione, osservando solo un campione di $n$ unità.

Carattere statistico

Caratteristica delle unità statistiche che viene rilevata, osservata e studiata in relazione a un determinato fenomeno.

Modalità

Valori o attributi specifici che un carattere statistico può assumere su un'unità statistica; devono essere esaustive e non sovrapposte.

Dato statistico

L'informazione che si ottiene nel momento in cui un carattere assume una determinata modalità in corrispondenza di un'unità statistica.

Carattere qualitativo sconnesso

Carattere qualitativo (o nominale) le cui modalità non presentano un naturale ordinamento (es. religione, luogo di nascita).

Carattere qualitativo ordinato

Carattere qualitativo (o ordinale) le cui modalità presentano un ordine logico, di tipo rettilineo o ciclico (es. titolo di studio).

Carattere quantitativo discreto

Carattere quantitativo le cui modalità scaturiscono da un conteggio e costituiscono un insieme finito o numerabile di valori.

Carattere quantitativo continuo

Carattere quantitativo le cui modalità scaturiscono da una misurazione e possono teoricamente assumere tutti i valori all'interno di uno o più intervalli reali.

Scala ad intervalli

Scala di misura per caratteri continui in cui non esiste uno zero assoluto naturale e non arbitrario (es. temperatura in gradi centigradi).

Scala di rapporti

Scala di misura per caratteri continui in cui esiste uno zero assoluto che indica l'assenza del carattere (es. reddito, altezza).

Frequenza assoluta ($n_j$)

Numero di volte in cui una certa modalità $j$ di un carattere viene osservata nella popolazione.

Frequenza relativa ($f_j$)

Frazione della popolazione che presenta una certa modalità, calcolata come $f_j = \frac{n_j}{N}$. La somma di tutte le frequenze relative è pari a $1$.

Frequenza relativa percentuale ($p_j$)

Frequenza relativa espressa in percentuale, calcolata come $p_j = f_j \times 100$. La somma di tutte le frequenze percentuali è pari a $100$.

Frequenza cumulata

Somma delle frequenze delle prime $j$ modalità di un carattere; ha senso proporla e calcolarla solo se esiste un ordinamento tra le modalità.

Densità di frequenza ($h_j$)

Rapporto tra la frequenza relativa $f_j$ (o assoluta) e l'ampiezza $a_j$ della classe ($h_j = \frac{f_j}{a_j}$), utilizzato negli istogrammi a basi diverse.

Media aritmetica ($ar{x}$ o $ u$)

Punto di equilibrio di una distribuzione quantitativa, calcolato come la somma di tutti i valori osservati divisa per la numerosità totale $N$.

Media aritmetica ponderata

Media calcolata moltiplicando ogni valore $x_j$ per il rispettivo peso $w_j$ e dividendo la somma dei prodotti per la somma totale dei pesi.

Media quadratica ($Q$)

Radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori osservati, invariante rispetto alla somma dei quadrati.

Media geometrica ($G$)

Radice $N$-esima del prodotto degli $N$ valori osservati, definita solo per valori strettamente positivi ($x_i > 0$).

Moda ($Mo$)

Modalità di un carattere che si osserva con la massima frequenza, oppure valore interno la cui frequenza è strettamente maggiore di quelle adiacenti.

Mediana ($Me$)

Valore o modalità centrale che bipartisce la distribuzione ordinata, lasciando il $50\%$ delle osservazioni a sinistra e il $50\%$ a destra.

Quantile ($Q_q$)

Valore o modalità che suddivide una distribuzione ordinata in due parti, lasciando alla sua sinistra una frazione $q$ e alla sua destra la frazione $1 - q$ (con $q \in [0, 1]$).

Campo di variazione ($R$)

Misura di variabilità data dalla differenza tra il valore massimo e il valore minimo osservati ($R = x_{\max} - x_{\min}$).

Differenza interquartile ($W$)

Misura di variabilità data dalla differenza tra il terzo quartile e il primo quartile ($W = Q_{0.75} - Q_{0.25}$).

Varianza ($\sigma^2$)

Media aritmetica degli scarti al quadrato dalla media aritmetica.

Scarto quadratico medio ($\sigma$)

Radice quadrata della varianza; misura la dispersione media dei dati attorno alla media aritmetica ed è espresso nella stessa unità di misura dei dati.

Coefficiente di variazione ($CV$)

Misura di variabilità relativa data dal rapporto tra lo scarto quadratico medio e il valore assoluto della media aritmetica ($CV = \frac{\sigma}{|\mu|}$).

Teorema di Chebyshev

Teorema che stabilisce che la frazione di osservazioni comprese nell'intervallo $[\mu - k\sigma, \mu + k\sigma]$ è almeno pari a $1 - \frac{1}{k^2}$ (per $k > 0$).

Teorema di Markov

Teorema che assicura che per variabili non negative ($x_i \ge 0$) la frazione di osservazioni maggiori o uguali a una soglia $a > 0$ è al più $\frac{\mu}{a}$.

Frequenze congiunte ($n_{ij}$)

Frequenze di unità statistiche che presentano contemporaneamente la modalità $i$ del primo carattere e la modalità $j$ del secondo carattere.

Frequenze marginali

Frequenze nei margini di una tabella a doppia entrata (totali di riga o colonna) che rappresentano le distribuzioni semplici dei singoli caratteri.

Indice Chi-quadrato di Pearson ($\chi^2$)

Indice di associazione tra due caratteri basato sulla somma dei rapporti tra il quadrato della differenza tra frequenze osservate e teoriche e le frequenze teoriche stesse.

Indice V di Cramer ($V$)

Indice di associazione normalizzato compreso tra $0$ (indipendenza) e $1$ (dipendenza perfetta), calcolato come $V = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2_{\max}}}$.

Scomposizione della varianza

Proprietà per cui la varianza totale di un carattere quantitativo $Y$ si scompone nella somma della varianza tra i gruppi (spiegata) e della varianza nei gruppi (residua).

Rapporto di correlazione ($\eta^2_{Y|X}$)

Indice di associazione tra un carattere qualitativo $X$ e uno quantitativo $Y$, calcolato come il rapporto tra la varianza spiegata e la varianza totale di $Y$.

Covarianza ($\sigma_{XY}$)

Media dei prodotti degli scarti di due caratteri quantitativi $X$ e $Y$ dalle rispettive medie aritmetiche.

Coefficiente di correlazione lineare ($\rho_{XY}$)

Indice relativo compreso tra $-1$ e $+1$ che misura la forza e la direzione del legame lineare tra due caratteri quantitativi.

Metodo dei minimi quadrati

Criterio di ottimizzazione che determina i parametri di una retta interpolante minimizzando la somma dei quadrati degli scarti tra valori osservati e valori predetti.

Indice di determinazione lineare ($R^2$)

Misura della bontà di adattamento della retta di regressione data dal rapporto tra la devianza spiegata e la devianza totale (pari a $\rho_{XY}^2$).