Intégration : Intégrales de Riemann, Intégrales Généralisées et Espaces de Fonctions Intégrables

Fiches de révision complètes sous forme de questions-réponses couvrant les chapitres d'analyse sur l'intégrale de Riemann, les intégrales généralisées, les fonctions intégrables, ainsi que les théorèmes de convergence dominée et d'intégration terme à terme.

Qu'est-ce qu'une fonction en escalier sur un segment $[a, b]$ ?

C'est une fonction $\phi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ pour laquelle il existe une subdivision $a = a_0 < a_1 < \dots < a_n = b$ telle que $\phi$ soit constante, de valeur $c_i$, sur chacun des intervalles ouverts $]a_i, a_{i+1}[$. Une telle subdivision est dite compatible avec $\phi$.

Comment est définie l'intégrale d'une fonction en escalier $\phi$ associée à une subdivision compatible $(a_i)_{0 \le i \le n}$ où $\phi$ prend la valeur $c_i$ sur $]a_i, a_{i+1}[$ ?

Elle est définie par la somme finie : $\int_a^b \phi = \sum_{i=0}^{n-1} c_i(a_{i+1} - a_i)$. Ce réel est indépendant du choix de la subdivision compatible avec $\phi$.

À quelle condition une fonction $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ est-elle dite intégrable au sens de Riemann (ou admettant une intégrale propre) ?

Elle est intégrable au sens de Riemann lorsque $I^+(f) = I^-(f) \in \mathbb{R}$, où $I^-(f) = \sup_{\phi \in \mathcal{E}^-(f)} \int_a^b \phi$ et $I^+(f) = \inf_{\psi \in \mathcal{E}^+(f)} \int_a^b \psi$. Cette valeur commune est alors notée $\int_a^b f$.

Quel est le critère d'encadrement pour l'intégrabilité d'une fonction $f$ au sens de Riemann sur $[a, b]$ ?

S'il existe deux suites $(\phi_n)$ et $(\psi_n)$ de fonctions en escalier telles que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\phi_n \le f \le \psi_n$ et $\int_a^b (\psi_n - \phi_n) \longrightarrow 0$, alors $f$ est intégrable et $\int_a^b f = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b \phi_n = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b \psi_n$.

Quelles sont deux grandes classes de fonctions définies sur un segment $[a, b]$ qui admettent toujours une intégrale propre ?

Toute fonction monotone sur $[a, b]$ et toute fonction continue sur $[a, b]$ (ainsi que les fonctions continues par morceaux) admettent une intégrale propre.

Que peut-on conclure si une fonction $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ est continue, positive et vérifie $\int_a^b f = 0$ ?

La fonction $f$ est identiquement nulle sur tout le segment : $f = 0$ sur $[a, b]$.

Pour $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ continue, quelle est la nature et la régularité de la fonction $F : x \mapsto \int_a^x f$ ?

La fonction $F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ et constitue une primitive de $f$ (c'est-à-dire $F' = f$).

Quelle est la définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment $[a, b]$ ?

C'est une fonction $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ pour laquelle il existe une subdivision $a = a_0 < a_1 < \dots < a_n = b$ telle que pour tout $i \in \{0, \dots, n - 1\}$, la restriction $f_i = f|_{]a_i, a_{i+1}[}$ soit continue et se prolonge en une fonction $g_i$ continue sur le segment fermé $[a_i, a_{i+1}]$.

Pour quelles valeurs de $\alpha \in \mathbb{R}$ l'intégrale de Riemann $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha}$ converge-t-elle ?

Elle converge si et seulement si $\alpha > 1$.

Pour quelles valeurs de $\alpha \in \mathbb{R}$ l'intégrale de Riemann $\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha}$ converge-t-elle ?

Elle converge si et seulement si $\alpha < 1$.

Pour $p \in \mathbb{C}$, quelle est la condition nécessaire et suffisante de convergence de $\int_0^{+\infty} e^{-pt}\,dt$ et quelle est sa valeur ?

L'intégrale converge si et seulement si $\Re(p) > 0$, et dans ce cas : $\int_0^{+\infty} e^{-pt}\,dt = \frac{1}{p}$.

Qu'est-ce qu'une borne « faussement impropre » pour une intégrale généralisée ?

C'est une borne ouverte $\alpha \in \mathbb{R}$ de l'intervalle d'intégration en laquelle la fonction intégrée $f$ admet un prolongement par continuité. L'intégrale converge nécessairement en une telle borne.

Quel est le résultat sur les paquets de Cauchy pour une intégrale convergente $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ ?

Pour toutes fonctions $\alpha, \beta : [a, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant $\lim_{x \to +\infty} \alpha(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \beta(x) = +\infty$, on a : $\lim_{x \to +\infty} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)\,dt = 0$.

À quelle condition l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty} f(t)\,dt$ converge-t-elle si $f$ est continue et $T$-périodique ($T > 0$) ?

Elle converge si et seulement si $f$ est identiquement nulle sur $\mathbb{R}$.

Quelle est la condition nécessaire et suffisante de convergence de l'intégrale de Bertrand à l'infini $\int_e^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha (\ln(t))^\beta}$ ?

Elle converge si et seulement si $\alpha > 1$ ou ($\alpha = 1$ et $\beta > 1$).

Quelle est la condition de convergence de l'intégrale de Bertrand en zéro $\int_0^\delta \frac{dt}{t^\alpha |\ln(t)|^\beta}$ avec $0 < \delta < 1$ ?

Elle converge si et seulement si $\alpha < 1$ ou ($\alpha = 1$ et $\beta > 1$).

Quel est le théorème d'intégration par parties pour des intégrales impropres sur $[a, b[$ pour des fonctions $f, g$ de classe $\mathcal{C}^1$ ?

Si deux des trois termes dans l'égalité $\int_a^b f'(t)g(t)\,dt = [f(t)g(t)]_a^b - \int_a^b f(t)g'(t)\,dt$ ont une limite finie (sont finis), alors le troisième l'est également et l'égalité est vérifiée.

Quel est le théorème de changement de variable pour une intégrale impropre sur $]a, b[$ via un difféomorphisme $\varphi : ]\alpha, \beta[ \rightarrow ]a, b[$ ?

Si $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ est continue et $\varphi : ]\alpha, \beta[ \rightarrow \mathbb{R}$ est strictement monotone, de classe $\mathcal{C}^1$, avec $\varphi(]\alpha, \beta[) \subset I$, $a = \lim_{u \to \alpha} \varphi(u)$ et $b = \lim_{u \to \beta} \varphi(u)$, alors $\int_a^b f(t)\,dt$ et $\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\varphi'(u)\,du$ sont de même nature et égales en cas de convergence.

Dans le cas divergent ($g \ge 0$ non intégrable sur $[a, b[$), que donne l'intégration d'un équivalent $f \sim g$ au voisinage de $b^-$ ?

Si $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ et $\Phi(x) = \int_a^x g(t)\,dt$, alors $F(x) \sim \Phi(x)$ lorsque $x \to b^-$.

Dans le cas convergent ($g \ge 0$ intégrable sur $[a, b[$), que donne l'intégration d'un équivalent $f \sim g$ sur les restes au voisinage de $b^-$ ?

Si $R(x) = \int_x^b f(t)\,dt$ et $\rho(x) = \int_x^b g(t)\,dt$, alors $R(x) \sim \rho(x)$ lorsque $x \to b^-$.

Quel est le résultat de type « Cesàro continu » pour une fonction $f : [0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{K}$ continue par morceaux telle que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lambda$ ?

La moyenne intégrale converge vers $\lambda$ : $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \lambda$.

Quand dit-on qu'une fonction $f$ continue par morceaux sur un intervalle quelconque $I$ d'extrémités $a$ et $b$ est intégrable sur $I$ ?

Elle est dite intégrable sur $I$ si $f$ est continue par morceaux et si l'intégrale $\int_a^b |f(t)|\,dt$ converge (c'est-à-dire $\int_a^b |f(t)|\,dt < +\infty$).

Quelle inégalité lie l'intégrale d'une fonction intégrable et l'intégrale de sa valeur absolue sur un intervalle $I$ (inégalité de la moyenne) ?

On a l'inégalité triangulaire : $\left|\int_I f(t)\,dt\right| \le \int_I |f(t)|\,dt$.

Quel est le théorème de comparaison pour l'intégrabilité de deux fonctions $f, g : I \rightarrow \mathbb{K}$ continues par morceaux ?

Si $|f| \le g$ sur $I$ et si $g$ est intégrable sur $I$, alors $f$ est intégrable sur $I$. Par contraposée, si $f$ n'est pas intégrable, alors $g$ ne l'est pas.

Quelle est la structure de l'ensemble $L^1(I, \mathbb{K})$ muni de l'application $N_1 : f \mapsto \int_I |f(t)|\,dt$ ?

$L^1(I, \mathbb{K})$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $N_1$ est une semi-norme sur cet espace. Elle devient une norme sur le sous-espace des fonctions continues $L^1(I, \mathbb{K}) \cap \mathcal{C}^0(I, \mathbb{K})$.

Pour $f : I \rightarrow \mathbb{C}$ continue et intégrable, quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que $\left|\int_I f\right| = \int_I |f|$ ?

Il faut et il suffit qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ de module $|\lambda| = 1$ tel que $f(t) = \lambda |f(t)|$ pour tout $t \in I$. (Si $f$ est réelle, cela signifie que $f$ garde un signe constant sur $I$).

Quelle est la valeur de l'intégrale de Gauss $\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt$ ?

Elle converge et vaut : $\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Quelle est la valeur de l'intégrale de Dirichlet $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}\,dx$ et quelle est sa nature de convergence ?

L'intégrale converge et vaut $\frac{\pi}{2}$. Elle est semi-convergente car $\int_0^{+\infty} \frac{|\sin(x)|}{x}\,dx = +\infty$ (la fonction n'est pas intégrable).

Comment est définie la fonction Gamma d'Euler $\Gamma(x)$ et quelles sont ses propriétés remarquables sur les entiers et en $1/2$ ?

Pour $x > 0$, $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\,dt$. Elle vérifie $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$, $\Gamma(n+1) = n!$ pour $n \in \mathbb{N}$, et $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$.

Quelles sont les hypothèses et la conclusion du théorème de convergence dominée de Lebesgue pour une suite de fonctions $(f_n)$ ?

Hypothèses : 1. $(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux ; 2. Il existe une fonction intégrable $\Phi : I \rightarrow \mathbb{R}_+$ telle que $\forall n \in \mathbb{N},\, |f_n| \le \Phi$ sur $I$. Conclusion : $f$ est intégrable sur $I$ et $\lim_{n \to +\infty} \int_I f_n(x)\,dx = \int_I f(x)\,dx$.

Quelles sont les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme de Lebesgue pour une série de fonctions $\sum f_n$ ?

1. La série $\sum f_n$ converge simplement sur $I$ vers une somme $S$ continue par morceaux ; 2. Chaque $f_n$ est intégrable sur $I$ ; 3. La série à termes positifs $\sum \int_I |f_n|$ converge. Alors $S$ est intégrable et $\sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n = \int_I S$.