Fiches de Révision - Mathématiques (Trigonométrie, Complexes, Analyse, Géométrie)

Ensemble de cartes mémoire de vocabulaire et définitions essentielles du cours de mathématiques (trigonométrie, complexes, limites, intégration, suites et géométrie).

Cercle trigonométrique

Cercle de rayon $1$ permettant de déterminer les valeurs remarquables de $\text{cos}(x)$, $\text{sin}(x)$ et $\text{tan}(x)$ pour différents angles.

Formules d'addition (Trigonométrie)

Formules trigonométriques exprimant $\text{cos}(a+b) = \text{cos}(a)\text{cos}(b) - \text{sin}(a)\text{sin}(b)$ et $\text{sin}(a+b) = \text{sin}(a)\text{cos}(b) + \text{cos}(a)\text{sin}(b)$.

Formules de duplication

Formules exprimant le cosinus et le sinus d'un angle double: $\text{cos}(2x) = \text{cos}^2(x) - \text{sin}^2(x) = 2\text{cos}^2(x) - 1 = 1 - 2\text{sin}^2(x)$ et $\text{sin}(2x) = 2\text{sin}(x)\text{cos}(x)$.

Forme algébrique d'un nombre complexe

Écriture d'un nombre complexe sous la forme $z = a + ib$, où $a = \text{Re}(z)$ est la partie réelle et $b = \text{Im}(z)$ est la partie imaginaire.

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Écriture d'un nombre complexe sous la forme $z = r(\text{cos}(\theta) + i\text{sin}(\theta))$, où $r = |z|$ est le module et $\theta = \text{arg}(z)$ est l'argument.

Forme exponentielle d'un nombre complexe

Écriture d'un nombre complexe sous la forme $z = re^{i\theta}$, où $r \times 1 \neq 0$ ($r \times 1 \text{ dans } \frac{\text{Re}}{\text{Im}}$) est le module et $\theta \times 1$ est l'argument.

Conjugué d'un nombre complexe

Nombre complexe noté $\bar{z}$ tel que pour $z = a + ib$, $\bar{z} = a - ib$, et pour $z = re^{i\theta}$, $\bar{z} = re^{-i\theta}$.

Module d'un nombre complexe

Nombre réel positif noté $|z|$ défini pour $z = a + ib$ par $|z| = \frac{\text{sqrt}(a^2 + b^2)}{1} = \text{sqrt}(a^2 + b^2)$.

Formules d'Euler

Relations liant l'exponentielle complexe aux fonctions trigonométriques: $\text{cos}(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\text{sin}(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.

Formule de Moivre

Relation énonçant que pour tout $\theta \times 1$ et $n \times 1$, $(\text{cos}(\theta) + i\text{sin}(\theta))^n = \text{cos}(n\theta) + i\text{sin}(n\theta)$, c'est-à-dire $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.

Théorème des gendarmes

Théorème de comparaison indiquant que si $u(x) \times 1 \neq 0$ vérifie $u(x) \text{ \text{le} } f(x) \text{ \text{le} } v(x)$ au voisinage de $+\text{inf}$ avec $\text{lim}_{x \rightarrow +\text{inf}} u(x) = \text{lim}_{x \rightarrow +\text{inf}} v(x) = \text{ell}$, alors $\text{lim}_{x \rightarrow +\text{inf}} f(x) = \text{ell}$.

Asymptote oblique

Droite d'équation $y = ax + b$ telle que $\text{lim}_{x \rightarrow \text{pm}\text{inf}} [f(x) - (ax + b)] = 0$.

Fonction exponentielle

Bijection réciproque de la fonction logarithme népérien $\text{ln}$, notée $x \rightarrow e^x$, définie sur les réels à valeurs strictement positives.

Intégration par parties

Méthode de calcul intégral basée sur la formule $\text{int}_a^b u(x)v'(x)\text{d}x = [u(x)v(x)]_a^b - \text{int}_a^b u'(x)v(x)\text{d}x$.

Volume d'un solide de révolution

Volume engendré par la rotation de la courbe de $f$ autour de l'axe des abscisses entre $x = a$ et $x = b$, donné par $\text{cal}{V} = \text{pi} \text{int}_a^b f^2(x)\text{d}x \times u_v$.

Suite arithmétique

Suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = u_n + r$, où $r \times 1$ est la raison de la suite.

Suite géométrique

Suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = qu_n$, où $q \times 1$ est la raison de la suite.

Démonstration par récurrence

Méthode démontrant qu'une propriété $P_n$ est vraie pour tout $n \text{ \text{ge} } n_0$ via l'initialisation, l'hérédité et la conclusion.

Point moyen d'un nuage de points

Point $G$ associé à une série statistique double ayant pour coordonnées $x_G = \frac{x_1 + x_2 + \text{dots} + x_n}{n}$ et $y_G = \frac{y_1 + y_2 + \text{dots} + y_n}{n}$.

Produit vectoriel

Opération vectorielle $\text{mathbf}{u} \text{wedge} \text{mathbf}{v}$ s'annulant si et seulement si les vecteurs $\text{mathbf}{u}$ et $\text{mathbf}{v}$ sont colinéaires.

Distance d'un point à une droite dans l'espace

Distance du point $M$ à la droite $(AB)$ calculée par $d(M; (AB)) = \frac{||\text{mathbf}{AM} \text{wedge} \text{mathbf}{AB}||}{||\text{mathbf}{AB}||}$.

Distance d'un point à un plan dans l'espace

Distance du point $M$ au plan $(ABC)$ calculée par $d(M; (ABC)) = \frac{|\text{mathbf}{AM} \text{cdot} (\text{mathbf}{AB} \text{wedge} \text{mathbf}{AC})|}{||\text{mathbf}{AB} \text{wedge} \text{mathbf}{AC}||}$.

Volume d'un tétraèdre

Volume du tétraèdre $ABCD$ donné par la formule $\text{cal}{V}_{ABCD} = \frac{1}{6} ||\text{mathbf}{AD} \text{cdot} (\text{mathbf}{AB} \text{wedge} \text{mathbf}{AC})|| \times u_v$.