Cahpitre 2 : Systèmes linéaires invariants

Quelle est la solution de l’équation d’état ?

Si x(t0) = 0 (l’origine), comment est décrit S ? Pourquoi le système est décrit ainsi ?

Comment est définie l’ensemble des points accessibles Acc(x(t₀),u) à partir d’un état initial x(t₀) pour une entrée admissible u : [t₀,T] → ℝ ? sachant que x’(t) = A x(t) + B u(t)

À quelle condition un système S est-il contrôlable sur ℝⁿ ?

Comment est défini le dual d’un système S linéaire invariant décrit par la représentation matricielle (A, B, C) ?

Quelle relation existe-t-il entre un système S et son système dual S* ?

Quel est le théorème de Kalman pour un système S linéaire invariant décrit par la représentation (A, B, C) ?

Soit un système linéaire décrit par (A, B, C)

S est contrôlable sur ℝⁿ si et seulement si rang(B AB … Aⁿ⁻¹B) = n.

S est observable si et seulement si rang(C; CA; …; Aⁿ⁻¹C) = n.

Comment calcule-t-on e^At par la méthode de Sylvester, pour une matrice constante A ∈ M_n(ℝ) ?

Comment définit-on la fonction ou la matrice de transfert G(s) d’un système S ?

Quelles sont les propriétés de la transformée de Laplace rappelées dans le cours ?

Quelle est la matrice de transfert G(s) d’un système linéaire invariant décrit par la représentation matricielle (A, B, C) ?

Que peut-on dire des pôles de G(s) et quel est le lien avec la matrice A ?

Quelles sont les trois propriétés données dans cette proposition concernant les rangs des matrices de commandabilité et d’observabilité ainsi que les matrices de transfert ?

Quand est-ce qu’un système est dit stable ?

Que peut-on dire de la stabilité à l’origine du système ẋ(t) = Ax(t) lorsque A est diagonalisable, en fonction des parties réelles de ses valeurs propres ?

Quel est le théorème de placement du spectre ?

Qu’est-ce qu’un observateur pour un système S et quel est son rôle ?

Qu’est-ce que l’observateur de Luenberger et quelles sont les équations d’état et de sortie qui le définissent ?

Sous quelle condition existe-t-il une matrice constante L telle que l’erreur e(t) = x(t) − x̂(t) soit asymptotiquement stable à l’origine ?