Sommes / produits

Linéarité de la somme

Pour toutes suites $(a<em>k)$ et $(b</em>k)$ et tout scalaire $\lambda$ : $\sum<em>{k=0}^n (a</em>k + b<em>k) = \sum</em>{k=0}^n a<em>k + \sum</em>{k=0}^n b<em>k$ et $\sum</em>{k=0}^n \lambda a<em>k = \lambda \left(\sum</em>{k=0}^n a_k\right)$

Relation de Chasles pour une somme discrète ($0 \le p \le n$)

$$\sum<em>{k=0}^n a</em>k = \sum<em>{k=0}^p a</em>k + \sum<em>{k=p+1}^n a</em>k$$

Changement d'indice par translation dans $\sum<em>{k=p}^n a</em>{k+l}$

En effectuant le changement d'indice $j = k + l$ : $\sum<em>{j=p+l}^{n+l} a</em>j$

Changement d'indice par symétrie dans $\sum<em>{k=p}^n a</em>{n+p-k}$

En effectuant le changement d'indice $j = n + p - k$ : $\sum<em>{j=p}^n a</em>j$

Somme télescopique : $\sum<em>{k=0}^{n-1} (a</em>{k+1} - a_k)$

$$a<em>n - a</em>0$$

Somme d'une constante $\lambda$ : $\sum<em>{k=0}^n \lambda$ et $\sum</em>{k=p}^n \lambda$

$\sum<em>{k=0}^n \lambda = (n + 1)\lambda$ et $\sum</em>{k=p}^n \lambda = (n - p + 1)\lambda$

Somme des premiers entiers : $\sum_{k=1}^n k$

$$\frac{n(n+1)}{2}$$

Somme des premiers carrés : $\sum_{k=1}^n k^2$

$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Somme géométrique : $\sum_{k=0}^n q^k$ pour $q \neq 1$

$$\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$

Coefficient binomial : formule de $\binom{n}{k}$

$$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Formule du binôme de Newton : développement de $(a+b)^n$

$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$$

Inégalité de Bernoulli ($n \in \mathbb{N}$, $x \ge 0$)

$$(1+x)^n \ge 1 + nx$$