Vorkurs Mathematik: Grundlagen, Analysis und Lineare Algebra

Umfassende Sammlung von Lernkarten im Frage-Antwort-Stil zu den mathematischen Themen Aussagenlogik, Mengenlehre, Funktionen, Folgen, Differential- und Integralrechnung, komplexe Zahlen, Vektorräume, Matrizen und euklidische Geometrie.

Was ist eine mathematische Aussage gemäß der Arbeitsdefinition?

Eine sprachlich oder symbolisch formulierte Behauptung, der auf eindeutige Weise ein Wahrheitswert, nämlich wahr ($W$) oder falsch ($F$), zugeordnet werden kann.

Wann ist die Implikation $A \Rightarrow B$ wahr und wann ist sie falsch?

Die Implikation $A \Rightarrow B$ ist nur dann falsch, wenn die Prämisse $A$ wahr und die Konklusion $B$ falsch ist. Wenn $A$ falsch ist, ist die Implikation stets wahr.

Was versteht man unter einer Tautologie und was unter einem Widerspruch?

Eine Aussage, die für alle Wahrheitswerte der Grundannahmen wahr ist, heißt Tautologie (z. B. $B \vee \neg B$). Eine Aussage, die für alle Wahrheitswerte falsch ist, heißt Widerspruch (z. B. $B \wedge \neg B$).

Was besagt das Prinzip der Kontraposition für eine Implikation $A \Rightarrow B$?

Es gilt die logische Äquivalenz $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$. Dies begründet, dass $A$ hinreichend für $B$ und $B$ notwendig für $A$ ist.

Wie lauten die De Morganschen Regeln der Aussagenlogik?

1. $\neg(A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B$
2. $\neg(A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B$

Was ist die Potenzmenge $\mathcal{P}(M)$ einer Menge $M$ und wie lautet ihre Mächtigkeit bei einer endlichen Menge mit $\#M = n$?

Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von $M$, also $\mathcal{P}(M) := \{A : A \subseteq M\}$. Ihre Mächtigkeit beträgt $\|\mathcal{P}(M)\| = 2^n$.

Wie ist das kartesische Produkt zweier Mengen $A$ und $B$ definiert?

Das kartesische Produkt ist die Menge aller geordneten Paare: $A \times B := \{(a, b) : a \in A, b \in B\}$.

Wie lauten die Regeln zur Negation von Aussagen mit All- und Existenzquantoren?

1. $\neg (\exists x \in M : A(x)) \Leftrightarrow \forall x \in M : \neg A(x)$
2. $\neg (\forall x \in M : A(x)) \Leftrightarrow \exists x \in M : \neg A(x)$

Welche Abbildungseigenschaften bezüglich Injektivität und Surjektivität illustrieren die Teilabbildungen (a) bis (d)?

(a) Injektiv (jedes Bildelement wird höchstens einmal getroffen). (b) Bijektiv (injektiv und surjektiv). (c) Surjektiv (jedes Element der Zielmenge wird mindestens einmal getroffen). (d) Keine Abbildung (ein Element der Definitionsmenge hat mehrere Bilder).

Wie bewies Euklid (Satz von Euklid), dass es unendlich viele Primzahlen gibt?

Durch Widerspruch: Nimmt man an, $P = \{p_1, \dots, p_r\}$ sei die endliche Menge aller Primzahlen, besitzt $n = p_1 \cdot p_2 \cdots p_r + 1$ einen Primteiler $q$. Da $n$ bei Division durch jedes $p_j$ den Rest 1 lässt, kann $q$ in $P$ nicht vorkommen – ein Widerspruch.

Was besagt die Nullteilerfreiheit in einem Körper $K$?

Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist: $a \cdot b = 0 \Leftrightarrow (a = 0) \vee (b = 0)$.

Wie lautet die Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck?

$\binom{n + 1}{k + 1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1}$ für alle $n, k \in \mathbb{N}_0$.

Welche zwei Schritte umfasst ein Beweis durch vollständige Induktion für eine Aussage $A(n)$ ab $n_0$?

1. Induktionsanfang: Nachweis, dass $A(n_0)$ wahr ist.
2. Induktionsschritt: Beweis von $A(n) \Rightarrow A(n + 1)$ für alle $n \ge n_0$ unter Verwendung der Induktionsannahme $A(n)$.

Wie lautet die geometrische Summenformel für $q \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ und $n \in \mathbb{N}_0$?

$$\sum_{j=0}^n q^j = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$$

Wie bestimmt die Diskriminante $D := \frac{p^2}{4} - q$ die reelle Lösungsmenge von $x^2 + px + q = 0$?

• $D < 0$: $L = \emptyset$
• $D = 0$: $L = \{-\frac{p}{2}\}$
• $D > 0$: $L = \{-\frac{p}{2} + \sqrt{D}, -\frac{p}{2} - \sqrt{D}\}$

Welche elementaren Zeilenumformungen sind beim Gauß-Algorithmus zur Umformung von linearen Gleichungssystemen zulässig?

1. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl ungleich 0.
2. Vertauschen von zwei Zeilen.
3. Addition (oder Subtraktion) des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Wann heißt eine nichtleere Teilmenge $S \subseteq \mathbb{R}$ beschränkt?

Wenn es ein abgeschlossenes Intervall $[a; b]$ gibt, sodass $S \subseteq [a; b]$ gilt.

Was unterscheidet eine lokale Minimalstelle von einem lokalen Minimalwert einer reellen Funktion?

Die Minimalstelle ist das Argument $x \in D$, an dem das Minimum angenommen wird. Der Minimalwert ist der zugehörige Funktionswert $f(x)$.

Welche Eigenschaft besitzt jede streng monotone Funktion $f: D \to \mathbb{R}$?

Sie ist injektiv (Satz 1: Aus $x < y$ folgt stets $f(x) < f(y)$ bzw. $f(x) > f(y)$, sodass $f(x) \neq f(y)$ gilt).

Wie ist die Konvergenz einer reellen Folge $(a_n)_{n \ge 1}$ gegen einen Grenzwert $a$ formell definiert?

Für jedes $\epsilon > 0$ gibt es ein $N \in \mathbb{N}$, sodass für alle $n \ge N$ gilt: $|a_n - a| < \epsilon$.

Welcher fundamentale Zusammenhang besteht laut Satz 2 zwischen Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz einer Folge?

(i) Jede konvergente Folge ist beschränkt. (ii) Jede Folge, die monoton und beschränkt ist, konvergiert.

Was ist der Unterschied zwischen einem Grenzwert und einem Häufungspunkt einer Folge?

Ein Grenzwert verlangt, dass fast alle (alle bis auf endlich viele) Folgenglieder in jedem $\epsilon$-Intervall um $a$ liegen. Für einen Häufungspunkt müssen lediglich unendlich viele Glieder in jedem $\epsilon$-Intervall liegen.

Wann heißt eine reelle Funktion $f: D \to \mathbb{R}$ stetig im Punkt $x_0 \in D$?

Wenn für jede Folge $(x_n)_{n \ge 1}$ in $D \setminus \{x_0\}$ mit $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ gilt: $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$, bzw. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Was besagt der Satz über die Polynomdivision mit Rest für zwei Polynome $p$ und $q \neq 0$?

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome $f$ und $r$, sodass $p = f \cdot q + r$ mit $\operatorname{grad}(r) < \operatorname{grad}(q)$ oder $r = 0$.

Was unterscheidet eine Polstelle von einer hebbaren Singularität bei rationalen Funktionen?

An einer Polstelle gilt $\lim_{x \to x_0} |r(x)| = \infty$. Bei einer hebbaren Singularität lässt sich die Funktion durch Vorgabe des Grenzwerts stetig in $x_0$ fortsetzen.

Wie lautet die Kettenregel zur Ableitung der Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen $(f \circ g)(x)$?

$$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Welches hinreichende Kriterium sichert ein lokales Maximum einer 2-mal stetig differenzierbaren Funktion an der Stelle $x_0$?

$f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) < 0$.

Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?

Jede stetige Funktion $f: D \to \mathbb{R}$ besitzt eine Stammfunktion $F$, und für jedes Intervall $[a; b] \subseteq D$ gilt: $\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)$.

Wie lautet die Formel der partiellen Integration für bestimmte Integrale?

$$\int_a^b (f' \cdot g)(x)\,dx = [f(x) \cdot g(x)]_a^b - \int_a^b (f \cdot g')(x)\,dx$$

Welche beiden trigonometrischen Funktionen sind in der Abbildung dargestellt und an welchen Stellen liegen deren Definitionslücken?

Die blaue Kurve zeigt $\tan(x)$ mit Definitionslücken bei $\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Die rote Kurve zeigt $\cot(x)$ mit Definitionslücken bei $k \cdot \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Wie lauten die Additionstheoreme für $\sin(x \pm y)$ und $\cos(x \pm y)$?

1. $\sin(x \pm y) = \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y)$
2. $\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y)$

Wie sind Betrag und multiplikatives Inverses einer komplexen Zahl $z = a + i b \neq 0$ definiert?

Betrag: $|z| = \sqrt{z \bar{z}} = \sqrt{a^2 + b^2}$. Multiplikatives Inverses: $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{a - i b}{a^2 + b^2}$.

Welche geometrische Bedeutung hat die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z, w \in \mathbb{C}$ in Polarkoordinaten?

Sie entspricht einer Drehstreckung: Die Beträge werden multipliziert ($|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$) und die Argumente addiert ($\arg(z \cdot w) = \varphi + \psi$).

Welche mathematischen Objekte sind in der dargestellten Gaußschen Zahlenebene auf dem Einheitskreis zu sehen?

Die 12-ten Einheitswurzeln, d. h. die Nullstellen des Polynoms $x^{12} - 1 = 0$, gegeben durch $\zeta_{12}^k = e^{i \frac{2\pi k}{12}}$ für $k = 0, \dots, 11$, mit $\zeta_{12} = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$.

Was besagt der Fundamentalsatz der Algebra für ein komplexes Polynom $p(x)$ vom Grad $n$?

Jedes normierte Polynom $p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$ mit Koeffizienten in $\mathbb{C}$ zerfällt vollständig in Linearfaktoren: $p(x) = \prod_{k=1}^m (x - b_k)^{n_k}$ mit $\sum_{k=1}^m n_k = n$.

Welche Bedingungen muss eine nichtleere Teilmenge $W \subseteq V$ erfüllen, um ein Untervektorraum zu sein?

Sie muss bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen sein:

1. Für alle $u, w \in W$ gilt $u + w \in W$.
2. Für alle $\lambda \in \mathbb{R}$ und $w \in W$ gilt $\lambda \cdot w \in W$.

Wann heißt eine endliche Menge von Vektoren $v_1, \dots, v_n$ in einem Vektorraum linear unabhängig?

Wenn die Gleichung $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = o$ nur die triviale Lösung $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$ besitzt.

Was versteht man unter einer Basis und der Dimension eines endlich erzeugten Vektorraums?

Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von $V$. Die Dimension $\dim(V)$ ist die eindeutig bestimmte Anzahl von Vektoren in einer solchen Basis.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Spalten einer Abbildungsmatrix $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ und der linearen Abbildung $\phi_A$?

Die $j$-te Spalte von $A$ ist genau das Bild des $j$-ten Standardbasisvektors unter $\phi_A$, also $A \cdot e_j = a_j$.

Wie setzt sich die Lösungsmenge $L$ eines lösbaren inhomogenen linearen Gleichungssystems $A \cdot x = b$ zusammen?

$L = \{y + x_0 : x_0 \in \operatorname{kern}(A)\}$, wobei $y$ eine beliebige spezielle Lösung von $A \cdot x = b$ und $\operatorname{kern}(A)$ die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems ist.

Unter welcher Bedingung ist eine $(2 \times 2)$-Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ invertierbar und wie lautet ihre Inverse?

Genau dann, wenn $ad - bc \neq 0$ ist. Die inverse Matrix lautet: $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Welche drei Eigenschaften charakterisieren das Standard-Skalarprodukt $\langle -, - \rangle$ auf dem $\mathbb{R}^n$?

1. Symmetrie: $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$
2. Bilinearität/Linearität: $\langle x + z, y \rangle = \langle x, y \rangle + \langle z, y \rangle$ und $\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle$
3. Positive Definitheit: $\langle x, x \rangle \ge 0$ und $\langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = o$.

Wie hängen das Skalarprodukt zweier Vektoren $x, y \in \mathbb{R}^2 \setminus \{o\}$ und der von ihnen eingeschlossene Winkel $\alpha$ zusammen?

$$\langle x, y \rangle = \|x\| \cdot \|y\| \cdot \cos(\alpha)$$

Wie lautet der Kosinussatz für ein Dreieck mit Seiten $a, b, c$ und dem Innenwinkel $\gamma$ zwischen $a$ und $b$?

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$

Wie lautet die Formel für den Lotfußpunkt $x^*$ auf einer Geraden $G = \{x_0 + tv : t \in \mathbb{R}\}$, der den minimalen Abstand zu einem Punkt $y$ realisiert?

$$x^* = x_0 - \frac{\langle v, x_0 - y \rangle}{\|v\|^2} v$$

Was bezeichnet man als Hessesche Normalenform einer Geraden oder Ebene?

Die Darstellung $\langle x - P, n \rangle = 0$ bzw. $\langle x, n \rangle = d$, bei der der Normalenvektor normiert ist, also Länge 1 besitzt ($\|n\| = 1$).

Wie ist das Kreuzprodukt $v \times w$ für $v, w \in \mathbb{R}^3$ definiert und welche Orientierung hat das Resultat zu den beiden Vektoren?

$v \times w = \begin{pmatrix} v_2 w_3 - v_3 w_2 \\ v_3 w_1 - v_1 w_3 \\ v_1 w_2 - v_2 w_1 \end{pmatrix}$. Der Vektor $v \times w$ steht orthogonal auf $v$ und auf $w$, und es gilt $v \times w = - (w \times v)$.