chap 4 Utilisation des polynômes : Interpolation de Lagrange et polynômes d'endomorphismes

Fiches de vocabulaire et notions clés sur l'interpolation de Lagrange et les polynômes de matrices et d'endomorphismes.

Définition des points d'interpolation

Famille de scalaires distincts $(x_0, \dots, x_n) \in \mathbb{C}^{n+1}$ deux à deux disjoints ($x_i \neq x_j$ pour $i \neq j$), servant de nœuds d'évaluation pour la construction de polynômes d'interpolation.

Théorème d'interpolation pour des valeurs données (Proposition 1)

Pour toute famille de scalaires $(y_0, \dots, y_n) \in \mathbb{C}^{n+1}$, il existe un unique polynôme $P \in \mathbb{C}_n[X]$ tel que pour tout $i \in [\![0, n]\!]$, $P(x_i) = y_i$.

Principe de la démonstration d'existence et d'unicité de l'interpolateur

On introduit l'application linéaire d'évaluation $\phi : \mathbb{C}_n[X] \to \mathbb{C}^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$. Si $P \in \ker(\phi)$, il admet au moins $n+1$ racines distinctes alors que $\deg(P) \le n$, donc $P = 0$. Comme $\dim(\mathbb{C}_n[X]) = \dim(\mathbb{C}^{n+1}) = n+1$, $\phi$ est un isomorphisme bijectif.

Polynôme interpolateur de Lagrange d'une fonction (Proposition 2)

Pour toute fonction $f : X \to \mathbb{C}$ définie sur un ensemble $X$ contenant les points $(x_0, \dots, x_n)$, unique polynôme $P \in \mathbb{C}_n[X]$ vérifiant pour tout $i \in [\![0, n]\!]$ la relation $P(x_i) = f(x_i)$.

Formule des coefficients pour une interpolation linéaire ($n = 1$)

Pour $P = aX + b$ interpolant $f$ en $x_0$ et $x_1$, les scalaires sont donnés par

$$a = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$$

et

$$b = \frac{f(x_0)x_1 - f(x_1)x_0}{x_1 - x_0}$$

.

Définition des polynômes élémentaires de Lagrange

Pour $n+1$ points distincts $x_0, \dots, x_n$, famille de polynômes définie pour tout $i \in [\![0, n]\!]$ par

$$L_i = \prod_{j=0, j \neq i}^n \frac{X - x_j}{x_i - x_j}$$

.

Propriété d'évaluation des polynômes élémentaires de Lagrange

Pour tous indices $i, k \in [\![0, n]\!]$, $L_i(x_k) = \delta_{i,k}$, c'est-à-dire $1$ si $k = i$ et $0$ si $k \neq i$.

Degré des polynômes élémentaires de Lagrange

Pour tout $i \in [\![0, n]\!]$, $\deg(L_i) = n$, car $L_i$ est le produit de $n$ facteurs de degré $1$.

Théorème de la base de Lagrange (Proposition 2.2)

La famille $(L_0, \dots, L_n)$ est une base de l'espace vectoriel $\mathbb{C}_n[X]$. Elle est libre (en évaluant une combinaison linéaire nulle en chaque $x_k$) et son cardinal vaut $n+1 = \dim(\mathbb{C}_n[X])$

Formule explicite du polynôme interpolateur de Lagrange (Proposition 3)

Le polynôme interpolateur de $f$ aux points $x_0, \dots, x_n$ s'exprime dans la base de Lagrange par

$$P = \sum_{i=0}^n f(x_i) L_i$$

.

Application de l'interpolation de Lagrange en analyse / calcul algébrique

Les polynômes élémentaires de Lagrange sont notamment utilisés pour obtenir rapidement la décomposition en éléments simples de fractions rationnelles.

Définition de l'algèbre des polynômes en une matrice ($\mathbb{K}[A]$)

Sous-ensemble de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ défini par

$\mathbb{K}[A] = \{ P(A) \mid P \in \mathbb{K}[X] \} = \{ \sum_{k=0}^\infty a_k A^k \mid (a_k) \in \mathbb{K}^{(\mathbb{N})} \}$,

où $(a_k)$ est une suite à support fini.

Définition de l'algèbre des polynômes d'un endomorphisme ($\mathbb{K}[f]$)

Sous-ensemble de $\mathcal{L}(E)$ défini par $\mathbb{K}[f] = \{ P(f) \mid P \in \mathbb{K}[X] \}$, constitué des endomorphismes obtenus par évaluation polynomiale en $f$.

Structure algébrique de $\mathbb{K}[A]$ et $\mathbb{K}[f]$

Muni des lois usuelles et de la multiplication matricielle (respectivement de la composition $\circ$), $\mathbb{K}[A]$ est une sous-algèbre commutative de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $\mathbb{K}[f]$ est une sous-algèbre commutative de $\mathcal{L}(E)$, car $PQ = QP \implies P(A)Q(A) = Q(A)P(A)$.

Structure de l'ensemble $\mathbb{K}_m[A]$ (ou $\mathbb{K}_m[f]$)

Sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ (ou de $\mathcal{L}(E)$), mais pas une sous-algèbre car il n'est généralement pas stable par le produit ou la composition.

Définition d'un polynôme annulateur

Polynôme non nul $P \in \mathbb{K}[X]$ vérifiant $P(A) = 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}$ pour une matrice $A$, ou $P(f) = 0_{\mathcal{L}(E)}$ pour un endomorphisme $f$.

Caractérisation vectorielle d'un polynôme annulateur d'endomorphisme

$P(f) = 0_{\mathcal{L}(E)}$ équivaut à $\forall x \in E$, $P(f)(x) = 0_E$. Pour $P = \sum_{k=0}^m a_k X^k$, cela signifie $\sum_{k=0}^m a_k f^k(x) = 0_E$ pour tout $x \in E$.

Existence d'un polynôme annulateur pour l'opérateur de dérivation sur $\mathbb{K}[X]$

L'endomorphisme de dérivation $D : P \mapsto P'$ sur $\mathbb{K}[X]$ ne possède aucun polynôme annulateur non nul, car si

$$H = \sum_{k=0}^m a_k X^k$$

avec $a_m \neq 0$ , alors $H(D)(X^m) = a_m m! \neq 0$.

Polynôme annulateur de l'opérateur de dérivation restreint à $\mathbb{K}_m[X]$

Pour $D : P \mapsto P'$ sur $\mathbb{K}_m[X]$, le monôme $X^{m+1}$ est un polynôme annulateur car toute dérivée $(m+1)$-ième d'un polynôme de degré au plus $m$ est nulle.

Définition d'une matrice nilpotente ou d'un endomorphisme nilpotent

Matrice $A$ (ou endomorphisme $f$) admettant comme polynôme annulateur un monôme de la forme $X^m$ pour un certain entier $m \in \mathbb{N}^*$, c'est-à-dire vérifiant $A^m = 0$ (ou $f^m = 0$).

Théorème de réduction de l'espace $\mathbb{K}[A]$ par un polynôme annulateur (Proposition 1)

Si $A$ (ou $f$) admet un polynôme annulateur de degré $m \ge 1$, alors $\mathbb{K}[A] = \mathbb{K}_{m-1}[A] = \mathrm{Vect}(I_n, A, \dots, A^{m-1})$ (et $\mathbb{K}[f] = \mathbb{K}_{m-1}[f] = \mathrm{Vect}(\mathrm{id}_E, f, \dots, f^{m-1})$).

Polynôme annulateur d'une matrice carrée d'ordre 2

Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$, le polynôme $P = X^2 - \mathrm{tr}(A)X + \det(A)$ est un polynôme annulateur de $A$, vérifiant $A^2 - \mathrm{tr}(A)A + \det(A)I_2 = 0_2$.

Critère d'inversibilité par polynôme annulateur (Proposition 2)

Si $A$ (ou $f$) admet un polynôme annulateur

$$P = \sum_{k=0}^m a_k X^k$$

de terme constant non nul ($a_0 \neq 0$), alors $A$ est inversible dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ (respectivement $f \in GL(E)$) et son inverse appartient à $\mathbb{K}_{m-1}[A]$.

Formule explicite de l'inverse via un polynôme annulateur

En isolant $a_0 I_n$ dans $P(A) = 0$, l'inverse de $A$ s'écrit

$$A^{-1} = -\frac{1}{a_0} \sum_{k=1}^m a_k A^{k-1}$$

.

Définition d'une matrice nilpotente ou d'un endomorphisme nilpotent

Matrice $A$ (ou endomorphisme $f$) admettant comme polynôme annulateur un monôme de la forme $X^m$ pour un certain entier $m \in \mathbb{N}^*$, c'est-à-dire vérifiant $A^m = 0$ (ou $f^m = 0$).