Algèbre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Fiches de vocabulaire et notions clés sur la réduction des endomorphismes et des matrices (éléments propres, polynôme caractéristique, diagonalisation, trigonalisation et applications).

Valeur propre d'un endomorphisme

Scalaire $\lambda$ tel qu'il existe un vecteur $x$ non nul vérifiant $u(x) = \lambda x$.

Vecteur propre d'un endomorphisme

Vecteur $x$ non nul tel que la famille $(x, u(x))$ est liée, c'est-à-dire tel qu'il existe un scalaire $\lambda$ vérifiant $u(x) = \lambda x$.

Sous-espace propre d'un endomorphisme ($E_\lambda(u)$)

Sous-espace vectoriel défini par $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\text{Id}_E) = \{x \in E \mid u(x) = \lambda x\}$.

Spectre d'un endomorphisme ($\text{Sp}(u)$)

Ensemble noté $\text{Sp}(u)$ de toutes les valeurs propres de l'endomorphisme $u$.

Somme de sous-espaces propres

La somme d'une famille finie de sous-espaces propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est directe.

Famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes

Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.

Valeurs propres et polynôme annulateur

Si $P \in \mathbb{K}[X]$ est un polynôme annulateur de $u$, alors toute valeur propre de $u$ est racine de $P$.

Polynôme caractéristique d'un endomorphisme ($\chi_u$)

Application polynomiale définie par $\chi_u(x) = \det(x\,\text{Id}_E - u)$.

Polynôme caractéristique d'une matrice carrée ($\chi_A$)

Application polynomiale définie par $\chi_A(x) = \det(x I_n - A)$.

Coefficients remarquables du polynôme caractéristique

Polynôme de degré $n$ dont le terme dominant est $X^n$, le terme de degré $n-1$ est $-\text{tr}(A)X^{n-1}$ et le terme constant est $(-1)^n \det(A)$.

Lien entre valeurs propres et polynôme caractéristique

Les valeurs propres de $u$ (ou de $A$) sont exactement les racines de son polynôme caractéristique.

Polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit sur un sous-espace stable

Si $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$, alors $\chi_{u_{|F}}$ divise $\chi_u$.

Ordre de multiplicité d'une valeur propre

Ordre de multiplicité de la valeur propre $\lambda$ en tant que racine du polynôme caractéristique $\chi_u$.

Somme et produit des valeurs propres

Si $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$, $\text{tr}(u)$ et $\det(u)$ sont respectivement la somme et le produit des valeurs propres de $u$ comptées avec leur ordre de multiplicité.

Encadrement de la dimension d'un sous-espace propre

Pour chaque valeur propre $\lambda$ de multiplicité $m_\lambda$, $1 \le d_\lambda \le m_\lambda$, où $d_\lambda = \dim(\ker(u - \lambda\,\text{Id}_E))$.

Théorème de Cayley-Hamilton

Pour tout endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ (avec $E$ de dimension finie) ou toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur : $\chi_u(u) = 0$ et $\chi_A(A) = 0$.

Endomorphisme diagonalisable

Endomorphisme $u$ pour lequel il existe une base de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$, ou de façon équivalente, tel que $E = \bigoplus_{\lambda \in \text{Sp}(u)} \ker(u - \lambda\,\text{Id}_E)$.

Matrice diagonalisable

Matrice $A$ semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire vérifiant $\exists P \in \text{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que $P^{-1}AP$ est diagonale.

Condition nécessaire et suffisante géométrique de diagonalisabilité

$u$ est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et pour chaque valeur propre $\lambda$, $d_\lambda = m_\lambda$ (soit $\sum_{\lambda \in \text{Sp}(u)} d_\lambda = \dim(E)$).

Condition suffisante de diagonalisabilité

Si $\chi_u$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et n'a que des racines simples (ou si $u$ admet $n = \dim(E)$ valeurs propres distinctes), alors $u$ est diagonalisable.

Condition nécessaire et suffisante algébrique de diagonalisabilité

$u \in \mathcal{L}(E)$ est diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme annulateur de $u$ scindé sur $\mathbb{K}$ et à racines simples, ce qui équivaut à ce que $\prod_{\lambda \in \text{Sp}(u)} (X - \lambda)$ annule $u$.

Restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable

Si $u$ est diagonalisable et $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$, alors l'endomorphisme induit $u_{|F}$ est diagonalisable sur $F$.

Trigonalisabilité

Propriété d'un endomorphisme $u$ (resp. d'une matrice $A$) pour lequel il existe une base où sa matrice est triangulaire supérieure (resp. semblable à une matrice triangulaire supérieure).

Condition nécessaire et suffisante de trigonalisabilité

Un endomorphisme $u$ (ou une matrice $A$) est trigonalisable sur $\mathbb{K}$ si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$.

Commutant d'un endomorphisme diagonalisable

Sous-espace noté $G = \{g \in \mathcal{L}(E) \mid u \circ g = g \circ u\}$, dont la dimension est égale à la somme des carrés des multiplicités des valeurs propres de $u$.

Sous-espaces stables par un endomorphisme diagonalisable

Pour $u$ diagonalisable, un sous-espace vectoriel $F$ est stable par $u$ si et seulement si $F$ est engendré par des vecteurs propres de $u$.