Reaaliluvut ja raja-arvo

Suurin alkio M ja pienin alkio m

M on joukon A suurin alkio, jos M∈A ja a<=M kaikilla a∈A.

m on joukon A pienin alkio, jos m∈A ja m<=a kaikilla a∈A.

Yläraja L ja alaraja l

L on joukon A yläraja, jos a<=L kaikilla a∈A.

l on joukon A alaraja, jos a>=l kaikilla a∈A.

Supremum, sup A ja Infimum inf A

Joukon A pienin yläraja, eli supA= { L∈R | L on joukon A yläraja}.

Joukon A suurin alaraja, eli infA= { l∈R | l on joukon A ala-raja}

Täydellisyysaksiooma

Olkoon A⊂R epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu. Tällöin on olemassa sup(A)∈R.

Supremumin epsilon karakterisaatio

Olkoon A epätyhjä ja M∈R joukon A yläraja, Tällöin M=supA, jos ja vain jos kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen a∈A, että a > M-ε.

Sisäkkäisten välien periaate

I₁ ⊃ I₂ ⊃ I₃ ⊃… suljettuja, rajoitettuja ja epätyhjiä reaalilukuvälejä. Tällöin (n_n=1^inf I_n) ei ole tyhjä joukko.

Jonon raja-arvo

Jono (x_n) suppenee kohti lukua a ∈ R, jos kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen indeksi N(ε), että |x_n - a| > ε kaikilla n > N(ε).

Rajoitettu lukujono

Lukujono (x_n) on rajoitettu, jos arvojoukko { x_n | n ∈ Z_>k } on rajoitettu, eli on olemassa rellainen M ∈ R, että |x_n| <=M kaikilla n ∈ Z_>k.

Cauchy-jono

Jos kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen N(ε) ∈ Z_>k, että

|x_n - x_m| < ε kaikilla n,m >= N(ε).

Cauchy-jono suppenee.

Osajonon lauseet 2

Jono (x_n) supenee kohti lukua a jos ja vain jos sen jokainen osajono suppenee kohti lukua a.

Joukossa R rajoitetulla jonolla (x_n) on suppeneva osajono.

Funktion jatkuvuus määritelmä

Kuvaus f : A → R on jatkuva pisteessä x₀, jos kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että |f(x) - f(x₀)| < ε kun x ∈ A ja |x - x₀| < δ.

Funktion jatkuvuus jonolla

Kuvaus f : A → R on jatkuva pisteessä x₀ ∈ A täsmälleen silloin kun lim f(x_n) = f(x₀) jokaisella jonolla joukossa A, jolla lim x_n = x₀.

Yhdistetyn kuvauksen jatkuvuus

f : A → B on jatkuva pisteessä x₀ ∈ A ja g : B → C on jatkuva pisteessä f(x₀) ∈ B. Tällöin yhdistetty kuvaus g ◦ f : A → C on jatkuva pisteessä x₀ ∈ A.

Bolzanon lause

Olkoon f : [a, b] → R jatkuva. Jos f saa erimerkkiset arvot välin päätepisteissä, on olemassa sellainen c ∈ ]a, b[, että f(c)=0.

x on Joukon A sisäpiste, jos

on olemassa sellainen r > 0, että B(x, r) ⊂ A.

x on Joukon A kasautumispiste, jos (2)

((B(x, r) \ {x}) ja A) ei ole tyhjä joukko kaikilla r > 0. (Kaikilla r pallon B(x, r) sisällä on joukon A piste (muu kuin jos x kuuluu A))

ja vain jos on olemassa sellainen jono (x_n), että x_n ∈ A\ {x} kaikilla n ja lim (x_n) = x.

x on joukon A reunapiste, jos

(B(x, r) ja A) ei ole tyhjä joukko ja (B(x, r) ja A)^c ei ole tyhjä joukko kaikilla r > 0.

x on joukon A eristetty piste, jos

on olemassa sellainen r > 0, että (B(x, r) ja A) = {x}.

sisus int A, reuna ∂A ja sulkeuma A(viiva päällä)

Sisus on sisäpisteiden joukko.

Reuna on reunapisteiden joukko.

Sulkeuma on joukko A tai joukon A kasaantumispisteet.

Avoin joukko.

Joukko on avoin jos jokainen joukon piste on sen sisäpiste.

Suljettu joukko 2

Joukko F on suljettu jos ja vain jos se sisältää kaikki kasautumispisteensä.

Joukko F on suljettu jos ja vain jos kaikilla suppenevilla jonoilla (x_n) joukossa F pätee lim (x_n) ∈ F.

Funktion raja-arvo

x₀ ∈ R on joukon A kasautumispiste. Kuvauksella f on raja-arvo a pisteessä x₀ jos kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että |f(x) - a| < ε kun x ∈ A\ {x₀}, joilla 0 < |x - x₀| < δ.

lim_x→x0 f(x) = a.

Weierstrassin minimi-maksimi-lause

Olkoon A ⊂ R suljettu ja rajoitettu epätyhjä joukko. Jos f : A →R on jatkuva, niin sillä on suurin ja pienin arvo.

Jatkuva funktio ja avoin/suljettu joukko

f on jatkuva, U avoin ja F suljettu. Tällöin f ^-1(U) on avoin ja f ^-1(F) on suljettu.

Jonokompakti määritelmä ja lause

Joukko A on jonokompakti, jos jokaisella jonolla (x_n) joukossa A on olemassa suppeneva osajono, jolle lim x_n(k) = a ∈ A.

Joukko A on jonokompakti jos ja vain jos A on suljettu ja rajoitettu.