Sens de variation d'une suite

Fiches de vocabulaire et définitions essentielles sur l'étude du sens de variation des suites numériques.

Suite croissante (à partir du rang $n_0$)

Suite $(u_n)$ pour laquelle, pour tout entier $n \geqslant n_0$, $u_{n+1} \geqslant u_n$ (ou $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$).

Suite décroissante (à partir du rang $n_0$)

Suite $(u_n)$ pour laquelle, pour tout entier $n \geqslant n_0$, $u_{n+1} \leqslant u_n$ (ou $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$).

Suite constante

Suite $(u_n)$ pour laquelle, pour tout entier $n \geqslant n_0$, $u_{n+1} = u_n$ (ou $u_{n+1} - u_n = 0$).

Suite strictement croissante (resp. décroissante)

Suite dont les inégalités entre termes consécutifs sont strictes ($>$ ou $<$ au lieu de $\geqslant$ ou $\leqslant$).

Suite monotone

Suite qui est soit croissante, soit décroissante (sans changer de sens de variation).

Suite non monotone (exemple)

Suite telle que $u_n = (-1)^n$ (dont les premiers termes sont $1, -1, 1, -1, \dots$), qui n'est ni croissante ni décroissante.

Méthode du signe de la différence

Méthode consistant à étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ : si la différence est $\geqslant 0$ pour tout $n$, la suite est croissante ; si elle est $\leqslant 0$, la suite est décroissante.

Méthode de la comparaison du quotient à $1$

Méthode applicable si tous les termes de la suite sont strictement positifs : si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 1$, la suite est croissante ; si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1$, la suite est décroissante.

Méthode de la fonction associée (cas explicite $u_n = f(n)$)

Méthode consistant à étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$ : si $f$ est croissante (resp. décroissante), alors la suite $(u_n)$ est croissante (resp. décroissante).

Quotient de puissances de même base

Règle de calcul sur les puissances s'exprimant par la formule $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$.

Puissance à exposant négatif

Règle de calcul sur les puissances s'exprimant par la formule $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.