Géométrie et Produit Scalaire dans l'Espace

Flashcards de vocabulaire sur la géométrie et le produit scalaire dans l'espace basées sur le cours.

Détermination d'un plan

Un plan est déterminé de manière unique par 3 points non alignés $A$, $B$ et $C$, par 2 droites parallèles, par 2 droites sécantes, ou par une droite $(D)$ et un point $A \notin (D)$.

Trace

Le point d'intersection entre une droite sécante et un plan.

Droites coplanaires

Droites appartenant à un même plan, ce qui signifie qu'elles sont soit parallèles, soit sécantes.

Droites non coplanaires

Droites qu'aucun plan ne peut contenir. Elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles.

Théorème du toit

Deux plans sécants passant respectivement par deux droites parallèles ont leur droite d'intersection parallèle à ces deux droites.

Droite perpendiculaire à un plan

Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Plan médiateur d'un segment

Le plan $P$ perpendiculaire au segment $[AB]$ en son milieu. Tout point de $P$ est équidistant des extrémités $A$ et $B$ et inversement.

Vecteurs coplanaires

Des vecteurs sont coplanaires si leurs représentants de même origine $A$ ont leurs extrémités dans un même plan passant par $A$. Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si deux d'entre eux sont colinéaires ou s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

Équation cartésienne d'un plan

Dans un repère orthonormé, équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$, où le vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan.

Vecteur normal à un plan

Tout vecteur non nul $\vec{u} = \vec{AB}$ tel que la droite $(AB)$ est perpendiculaire au plan.

Représentation paramétrique d'une droite

Système d'équations de la forme $x = at + x_A$, $y = bt + y_A$, $z = ct + z_A$ avec $t \in \mathbb{R}$, passant par le point $A(x_A, y_A, z_A)$ et dirigée par le vecteur directeur $\vec{v}(a, b, c)$.

Condition de parallélisme entre une droite et un plan

Une droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est parallèle à un plan $(P)$ de vecteur normal $\vec{n}$ si et seulement si $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$.

Condition de sécantité entre une droite et un plan

Une droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est sécante à un plan $(P)$ de vecteur normal $\vec{n}$ si et seulement si $\vec{n} \cdot \vec{u} \neq 0$.

Condition de parallélisme de deux plans

Deux plans $(P)$ et $(Q)$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux $\vec{n}_P$ et $\vec{n}_Q$ sont colinéaires.

Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Le point $B$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(P)$ si $B \in (P)$ et si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Le point $B$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(D)$ si $B \in (D)$ et si $\vec{AB} \cdot \vec{V}_D = 0$, où $\vec{V}_D$ est un vecteur directeur de $(D)$.

Représentation paramétrique d'un plan

Système d'équations de la forme $x = tx + t'x' + x_A$, $y = ty + t'y' + y_A$, $z = tz + t'z' + z_A$ avec $t \in \mathbb{R}$ et $t' \in \mathbb{R}$, passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteurs directeurs non colinéaires $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$.

Équation cartésienne d'une sphère

Pour une sphère de centre $\Omega(x_\Omega, y_\Omega, z_\Omega)$ et de rayon $R$, l'équation est $(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 + (z - z_\Omega)^2 = R^2$.

Sphère de diamètre $[AB]$

L'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant l'égalité vectorielle $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$.

Coordonnées du milieu d'un segment dans l'espace

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)$.

Distance entre deux points dans l'espace

Dans un repère orthonormé, la longueur du segment $[AB]$ vaut $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Section d'un solide par un plan

Figure obtenue en déterminant les droites d'intersection du plan de coupe avec le plan de chaque face du solide, puis en ne conservant que les segments inclus dans ces faces.