VL 3: Die Syntax der formalen Aussagenlogik

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Antezedens und Konsequens

Die beiden Teilaussagen einer Wenn-dann-Verknüpfung:

• Antezedens: Die bedingende Teilaussage im Wenn-Teil (z. B. „Es ist 12 Uhr“).

• Konsequens: Die folgende Teilaussage im Dann-Teil (z. B. „Es gibt Mittagessen“).

Wesentliche Merkmale gemäß Vorlesung:

• Beide Teilaussagen stehen jeweils als vollständige Aussagen ganz für sich alleine.

• Durch die Verknüpfung werden sie formal in eine logische Beziehung gesetzt ($P \rightarrow Q$).

• Das Konsequens einer Wenn-dann-Aussage kann wiederum als Antezedens einer nachfolgenden Wenn-dann-Aussage fungieren (Kettenbildung).

Modus ponendo ponens

Eine fundamentale logische Schlussfigur der formalen Aussagenlogik mit folgender Struktur:

• Prämisse 1: Wenn $P$, dann $Q$ ($P \rightarrow Q$ )

• Prämisse 2: $P$

• Konklusion: $Q$

Folienbeispiel:

1. Prämisse 1: Wenn Tobi eine halbe Stunde Logik pro Tag lernt, besteht er die Prüfung.

2. Prämisse 2: Tobi lernt eine halbe Stunde Logik pro Tag.

3. Konklusion: Tobi besteht die Prüfung.

Gültigkeit eines logischen Arguments

Ein logisches Argument ist gültig, wenn unter der Annahme, dass alle Prämissen wahr sind, die Konklusion automatisch und zwingend wahr sein muss.

• Folgt die Konklusion nicht zwingend aus den Prämissen, ist das Argument ungültig.

• Die formale Gültigkeit garantiert nicht den tatsächlichen empirischen Wahrheitsgehalt in der Realität, sondern die formale Schlüssigkeit der Ableitung.

Bestandteile eines logischen Arguments

Ein logisches Argument gliedert sich in folgende Komponenten:

• Prämissen: Die zu Beginn aufgestellten Fakten oder Annahmen, von denen man weiß (oder zumindest fest glaubt), dass sie wahr sind.

• Zwischenschritte: Logisch fortschreitende Verknüpfungen, die schrittweise von den Prämissen zur Antwort führen.

• Konklusion: Das resultierende Endergebnis des Arguments, im Sprachgebrauch häufig durch Signalausdrücke wie „deshalb“ angezeigt.

Enthymem

Ein unvollständiges Argument, das eine verborgene bzw. unausgesprochene Prämisse enthält.

• Kontext: Tritt typischerweise in alltagssprachlichen Argumenten zu real existierenden Situationen auf, im Gegensatz zu formalen mathematischen oder naturwissenschaftlichen Kontexten.

• Funktion: Dient häufig rhetorischen Zwecken oder basiert auf stillschweigend vorausgesetztem Hintergrundwissen (z. B. die verborgene Prämisse: „Es gibt keine alternativen Geldquellen“).

Dimensionen der Sprachanalyse (Syntax, Semantik, Pragmatik)

Die drei grundlegenden Ebenen sprachlicher Ausdrücke:

• Syntax: Formale Regeln, die festlegen, wie sprachliche Zeichen und Symbole zueinander in Beziehung gesetzt und kombiniert werden dürfen.

• Semantik: Die inhaltliche Bedeutung von Wörtern, Wortfolgen und ganzen Sätzen an sich (losgelöst vom konkreten Gebrauch).

• Pragmatik: Bedeutungsarten, die erst durch die konkrete Verwendung sprachlicher Ausdrücke durch Sprechende in spezifischen Kontexten entstehen.

Wohlgeformte Formel (WFF)

Eine nach den formalen syntaktischen Bildungsregeln der Aussagenlogik zulässige Zeichenkette (well-formed formula, ausgesprochen „wiff“).

• Zulässiges Beispiel (WFF): $(P \vee Q) \rightarrow \sim R$

[Wenn P oder Q, dann nicht R]

• Unzulässige Zeichenkette (Nicht-WFF): $\vee R Q \rightarrow) \sim (P$

• [so macht es kein Sinn also brauchen Regeln]

In der Einführungsvorlesung werden WFFs und wohlgeformte Aussagen gleichgesetzt.

Aussagenkonstanten vs. Aussagenvariablen

Konventionen zur Symbolisierung in der Aussagenlogik:

• Aussagenkonstanten: Großbuchstaben ($P, Q, R, S, A, B$) stehen stellvertretend für konkrete, inhaltlich bestimmte Einzelaussagen (z. B. $A$: „Alex erstellt PowerPoint-Folien“).

• Aussagenvariablen: Kleinbuchstaben ($x, y, w, z$) fungieren als rein abstrakte Platzhalter für beliebige Einzelaussagen zur Abbildung allgemeiner formaler Gesetzmäßigkeiten und Muster.

Unärer vs. binärer Operator

Klassifikation der Operatoren nach der Anzahl verarbeiteter Teilaussagen:

• Unärer Operator: Wirkt auf genau eine Teilaussage bzw. einen Wahrheitswert ein, um diesen umzukehren (die Negation $\sim$: $\sim W = F$, $\sim F = W$).

• Binärer Operator: Verknüpft zwei Teilaussagen (zwei Eingabewerte) zu einer neuen Gesamtaussage mit genau einem Wahrheitswert als Ausgabewert ($\&$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$).

Alternative Fachbegriffe und Symbole der fünf Junktoren

Synonyme Bezeichnungen und Notationen der logischen Operatoren:

• Negation ($\sim$): Verneinung; alternative Symbole: $N$, $\sim$, $\neg$

• Konjunktion ($\&$): Und-Verknüpfung; alternative Symbole: $\wedge$, $\cdot$

• Disjunktion ($\vee$): Adjunktion, (einschließendes) ODER; alternative Symbole: $\cup$, $+$

• Konditional ($\rightarrow$): Subjunktion, Implikation; alternative Symbole: $\supset$, $\Rightarrow$

• Bikonditional ($\leftrightarrow$): Bijunktion, Äquivalenz; alternative Symbole: $\equiv$, $=$

Negation ($\sim x$)

Der unäre logische Operator der Verneinung, der den Wahrheitswert einer Aussage in sein exaktes Gegenteil verkehrt:

• Ist $x$ wahr ($W$), so ist $\sim x$ falsch ($F$).

• Ist $x$ falsch ($F$), so ist $\sim x$ wahr ($W$).

• Es können beliebig viele Negationen hintereinandergeschaltet werden (z. B. besitzt $\sim\sim P$ stets denselben Wahrheitswert wie $P$).

[nicht nicht P —> verneinigungen lösen sich so auf]

Konjunktion ($x \& y$)

Die wahrheitsfunktionale Und-Verknüpfung zweier Teilaussagen:

• Eine Konjunktion ist nur dann wahr ($W$), wenn beide Teilaussagen ($x$ und $y$) zugleich wahr sind.

• Sobald mindestens eine der beiden Teilaussagen falsch ($F$) ist, ist die gesamte Konjunktion falsch ($F$).

Einschließende vs. ausschließende Disjunktion

Zwei Verwendungsweisen der Oder-Verknüpfung:

• Einschließend ($x \vee y$): Der Standardoperator der Aussagenlogik; ist wahr, wenn mindestens eine oder beide Teilaussagen wahr sind („dies oder jenes oder beides“).

• Ausschließend („entweder … oder“): Schließt den Fall aus, dass beide Teilaussagen zugleich wahr sind („dieses oder jenes, aber nicht beides“).

Formale Darstellung des ausschließenden ODER: $(x \vee y) \mathbin{\&} \sim(x \mathbin{\&} y)$

Konditional ($x \rightarrow y$)

Die subjunktive Wenn-dann-Verknüpfung zwischen Antezedens ($x$) und Konsequens ($y$):

• Ist in genau einem Fall falsch ($F$): wenn das Antezedens wahr ($W$ ) und das Konsequens falsch ($F$) ist ($W \rightarrow F = F$).

[wenn folge nicht eintritt dann ist die wenn-dann Aussage falsch]

• In allen drei anderen Belegungen ist das Konditional wahr ($W$):

  • $$W \rightarrow W = W$$

  • $$F \rightarrow W = W$$

  • $$F \rightarrow F = W$$

Konverse eines Konditionals

Die Aussage, die durch bloßes Umkehren der Reihenfolge der Teilaussagen entsteht:

• Ausgangsaussage: $x \rightarrow y$

• Konverse: $y \rightarrow x$

• Die Konverse besitzt nicht zwingend denselben Wahrheitswert wie die Ausgangsaussage (z. B. ist „Wenn man in der Stadt Bern ist, ist man im Kanton Bern“ wahr, die Konverse „Wenn man im Kanton Bern ist, ist man in der Stadt Bern“ jedoch falsch).

Umkehrung einer Wenn-dann-Aussage

Die Aussage, die entsteht, wenn beide Komponenten eines Konditionals negiert werden, ohne deren Reihenfolge zu tauschen:

• Ausgangsaussage: $x \rightarrow y$

• Umkehrung: $\sim x \rightarrow \sim y$

• Die Umkehrung teilt nicht zwingend denselben Wahrheitswert mit der Ausgangsaussage (z. B. ist „Wenn man nicht in der Stadt Bern ist, ist man nicht im Kanton Bern“ falsch, da man sich z. B. in Interlaken befinden kann).

Kontraposition

Die Vertauschung und gleichzeitige Negation beider Teile eines Konditionals:

• Ausgangsaussage: $x \rightarrow y$

• Kontraposition: $\sim y \rightarrow \sim x$

• Ein Konditional und seine Kontraposition sind logisch äquivalent und besitzen unter jeder Belegung identische Wahrheitswerte (z. B.: „Wenn man nicht im Kanton Bern ist, ist man nicht in der Stadt Bern“ ist wahr).

Logischer Zusammenhang zwischen Konverse und Umkehrung

Die Konverse ($y \rightarrow x$) und die Umkehrung ($\sim x \rightarrow \sim y$) einer Aussage besitzen stets exakt denselben Wahrheitswert.

Begründung: Konverse und Umkehrung bilden wechselseitig die Kontraposition voneinander (Vertauschung und Negation beider Teilaussagen), wodurch sie formal-logisch äquivalent zueinander sind.

Bikonditional ($x \leftrightarrow y$)

Die Wenn-und-nur-dann-wenn-Verknüpfung (auch „genau dann, wenn“):

• Ist wahr ($W$), wenn beide Teilaussagen denselben Wahrheitswert besitzen ($W \leftrightarrow W = W$ und $F \leftrightarrow F = W$).

• Ist falsch ($F$), wenn sich die Wahrheitswerte unterscheiden ($W \leftrightarrow F = F$ und $F \leftrightarrow W = F$).

• Zeigt an, dass sich beide Aussagen gegenseitig in beide Richtungen implizieren und logisch äquivalent sind.

z.B

• G: 100 ist eine gerade Zahl. (WW)

• Z: 100 ist ohne Rest durch 2 teilbar. (WW)

• D: 100 ist ohne Rest durch 3 teilbar. (FF)

• Wahres Bikonditional (G↔ZG↔Z):   „100 ist eine gerade Zahl wenn und nur dann, wenn 100 ohne Rest durch 2 teilbar ist)

[haben wir eine Gewisse Einstellung als Folge der Argumente die Wir Überzeugend finden, oder haben wir zuerst eine Überzeugung und suchen uns die passenden Argumente dazu?]

Wason Selection Task beim Konditional (Karten: E, K, 4, 7)

Prüfung der Regel: „Wenn auf der einen Seite ein Vokal ist, dann ist auf der anderen Seite eine gerade Zahl ($V \rightarrow G$)“:

• Karte E (Vokal / Antezedens wahr): Muss umgedreht werden; eine ungerade Zahl auf der Rückseite falsifiziert die Regel ($W \rightarrow F$).

• Karte 7 (ungerade Zahl / Konsequens falsch): Muss umgedreht werden; ein Vokal auf der Rückseite falsifiziert die Regel ($W \rightarrow F$).

• Karten K und 4 (irrelevant):

  • Karte K (Konsonant / Antezedens falsch): Regel verbietet weder gerade noch ungerade Zahlen bei Konsonanten.

  • Karte 4 (gerade Zahl / Konsequens wahr): Das Konditional verbietet eine gerade Zahl bei Konsonanten nicht.

Wason Selection Task beim Bikonditional (Karten: E, K, 4, 7)

Prüfung der Regel: „Auf der einen Seite ist ein Vokal genau dann, wenn auf der anderen Seite eine gerade Zahl ist ($V \leftrightarrow G$)“:

• Alle vier Karten ($E, K, 4, 7$) müssen zwingend umgedreht werden.

• Begründung: Da die Beziehung in beide Richtungen gilt, kann jede einzelne Karte die Regel verletzen:

  • Karte E: Falsifikation bei ungerader Zahl.

  • Karte K: Falsifikation bei gerader Zahl (gerade Zahlen sind nur bei Vokalen erlaubt).

  • Karte 4: Falsifikation bei Konsonant.

  • Karte 7: Falsifikation bei Vokal.

„Rechnen“ mit Junktoren

• Analogie zur Arithmetik: Während in der Arithmetik unendlich viele Zahlen existieren, gibt es in der formalen Logik nur zwei Werte: wahr (WW) und falsch (FF).

• Binäre Operatoren: Vier Operatoren (&&, ∨∨, →→, ↔↔) verknüpfen zwei Eingabewerte zu genau einem Ausgabewert:

  • F&W=FF&W=F

  • F∨W=WF∨W=W

  • F→W=WF→W=W

  • F↔W=FF↔W=F

• Unärer Operator: Ein Operator (∼∼) kehrt genau einen Wahrheitswert um:

  • ∼F=W∼F=W

  • ∼W=F∼W=F

Evaluierung (Bewertung) einer logischen Aussage

Das schrittweise Abarbeiten und Reduzieren eines komplexen logischen Ausdrucks von den innersten Klammern nach außen auf einen einzigen Wahrheitswert (WW oder FF).

Folienbeispiel (mit Belegung P=WP=W, Q=FQ=F, R=WR=W):

1. Ausgangsausdruck: ∼((P∨Q)→∼R)∼((P∨Q)→∼R)

2. Wahrheitswerte einsetzen: ∼((W∨F)→∼W)∼((W∨F)→∼W)

3. Klammer und Negation berechnen: ∼(W→F)∼(W→F)

4. Konditional auswerten: ∼F∼F

5. Endergebnis (Ausgabewert): WW

Übersetzung von Verbindungswörtern wie „aber“, „obwohl“, „jedoch“, „dennoch“, „trotzdem“

In der formalen Aussagenlogik werden alle diese alltagssprachlichen Konjunktionen wahrheitsfunktional ausnahmslos als einfache Konjunktion ($\&$) übersetzt.

Beispiel: „Ich mag Whiskey, aber ich mag auch Tofu“ wird formalisiert zu: $W \mathbin{\&} T$

Übersetzung von „Weder … noch …“ vs. „Nicht beide“

Formale Unterscheidung zweier Verneinungsstrukturen:

• Weder $W$ noch $T$: Negiert beide Teilaussagen einzeln („Ich mag Whiskey nicht und ich mag Tofu nicht“): $\sim W \mathbin{\&} \sim T$

• Nicht beide ($W$ und $T$): Negiert die gemeinsame Konjunktion als Ganzes („Ich mag nicht beide gleichzeitig“): $\sim(W \mathbin{\&} T)$

Übersetzung von „$A$, wenn $B$“ vs. „$A$ nur dann, wenn $B$“

Regeln für die Pfeilrichtung bei Wenn-Formulierungen:

• „$A$, wenn $B$“: „Wenn“ leitet die hinreichende Bedingung bzw. das Antezedens ein („Wenn $B$, dann $A$“): $B \rightarrow A$
• „$A$ nur dann, wenn $B$“: „Nur dann, wenn“ markiert $B$ als notwendige Bedingung ($B$ steht hinter dem Pfeil): $A \rightarrow B$

Folienbeispiel: „Ich lebe nur dann in der Stadt Bern ($S$), wenn ich im Kanton Bern ($K$) lebe“ wird übersetzt als: $S \rightarrow K$

Standardanalyse des Wissens (Bedingungsgefüge)

Die klassische Definition von Wissen als „wahre, gerechtfertigte Überzeugung“:

• Die drei Kriterien (1. wahr, 2. gerechtfertigt, 3. Überzeugung) stellen jeweils einzeln notwendige Bedingungen für Wissen dar.

• Zusammengenommen im Verbund (Bündel) bilden die drei Kriterien eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen von Wissen.

Hinreichende Bedingung

Eine Bedingung $P$, deren Vorliegen das Eintreten von $Q$ sicher garantiert, ohne andere mögliche Ursachen für $Q$ auszuschließen:

• Folienbeispiel: „Anja besteht die Klausur, wenn sie eine 6 schreibt“ ($P$: Anja schreibt eine 6; $Q$: Anja besteht die Klausur).

• Eine 6 garantiert das Bestehen, ist aber nicht zwingend notwendig (Bestehen auch mit 5.0 möglich).

• Formale Darstellung: $P \rightarrow Q$

Notwendige Bedingung

Eine Bedingung $P$, ohne deren Erfüllung $Q$ unmöglich eintreten kann, die allein das Eintreten von $Q$ aber noch nicht sicher garantiert:

• Folienbeispiel: „Anja besteht die Klausur nur, wenn sie eine 6 schreibt“ ($P$: Anja schreibt eine 6; $Q$: Anja besteht die Klausur).

• Das Bestehen ($Q$) setzt zwingend eine 6 voraus, es könnten aber noch weitere Anforderungen bestehen.

• Formale Darstellung (umgekehrte Pfeilrichtung): $Q \rightarrow P$

[wenn sie klausur bestanden hat kann ich ausgehen, dass sie eine 6 geschrieben hat]

Notwendige und hinreichende Bedingung

Eine Bedingung $P$, die zugleich unverzichtbar als auch völlig ausreichend für $Q$ ist („genau dann, wenn“):

• Folienbeispiel: „Anja besteht die Klausur genau dann, wenn sie eine 6 schreibt.“

• Schließt alle anderen Noten (Notwendigkeit) sowie etwaige Zusatzanforderungen (Hinlänglichkeit) aus.

• Formale Darstellung als Konjunktion beider Richtungen: $(P \rightarrow Q) \mathbin{\&} (Q \rightarrow P)$

• Gleichbedeutende Darstellung als Bikonditional: $P \leftrightarrow Q$

[ p→ Q = hinreichende Bedingung/ Q → P = notwendig./ wenn beide gegeben sind liegt eine notwendige und hinreichende Bedingung vor]