Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática

Colección de 25 tarjetas de estudio que cubren conceptos fundamentales de estática para ingeniería: sistemas de unidades, equilibrio de partículas y cuerpos rígidos en 2D y 3D, momentos, pares, centroides, armaduras, vigas, cables, fricción y momentos de inercia.

¿Cuáles son las tres ramas principales en las que se divide la ciencia de la mecánica?

La mecánica se divide en: 1) mecánica de cuerpos rígidos (subdividida en estática y dinámica), 2) mecánica de cuerpos deformables y 3) mecánica de fluidos.

¿Qué establece el principio de transmisibilidad para un cuerpo rígido?

Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecen inalteradas si una fuerza $\mathbf{F}$ que actúa en un punto se sustituye por otra fuerza $\mathbf{F}'$ de igual magnitud, dirección y sentido, siempre que ambas actúen a lo largo de la misma línea de acción.

¿Cómo se define la unidad de masa del sistema de uso común en Estados Unidos (el slug)?

El slug es la masa que recibe una aceleración de $1\,\text{pie/s}^2$ al aplicársele una fuerza de $1\,\text{lb}$, equivalente a $1\,\text{lb}\cdot\text{s}^2/\text{pie}$ (aproximadamente $14.59\,\text{kg}$ o $32.2\,\text{lb}\text{ masa}$).

¿Cuáles son los cinco pasos secuenciales del enfoque sistemático EMARP para la solución de problemas en mecánica?

Estrategia, Modelar, Analizar, Revisar y Pensar.

¿Cuáles son las dos ecuaciones escalares necesarias y suficientes para el equilibrio de una partícula en el plano?

$\sum F_x = 0$ y $\sum F_y = 0$.

¿Qué identidad geométrica fundamental deben cumplir los cosenos directores de cualquier vector de fuerza en el espacio tridimensional?

$\cos^2(\theta_x) + \cos^2(\theta_y) + \cos^2(\theta_z) = 1$.

¿Qué establece el teorema de Varignon sobre el momento generado por varias fuerzas concurrentes?

Establece que el momento con respecto a un punto dado $O$ de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas individuales con respecto a dicho punto: $\mathbf{r} \times (\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 + \dots) = \mathbf{r} \times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r} \times \mathbf{F}_2 + \dots$.

¿Por qué el vector de momento de un par de fuerzas $\mathbf{M}$ se clasifica como un vector libre?

Porque el vector $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ es independiente de la elección del punto de referencia u origen, por lo que puede aplicarse en cualquier punto del espacio produciendo el mismo efecto rotacional sobre el cuerpo rígido.

¿Cómo se define el paso ($p$) de una llave de torsión (o torsor) que reduce un sistema general de fuerzas?

Es el cociente entre la magnitud de la componente del par colineal con la fuerza resultante ($M_1$) y la magnitud de la fuerza resultante ($R$): $p = \frac{M_1}{R} = \frac{\mathbf{R} \cdot \mathbf{M}_O^R}{R^2}$.

¿Cuántas y cuáles incógnitas de reacción introduce un apoyo fijo (empotramiento) en una estructura bidimensional?

Introduce $3$ incógnitas: dos componentes de fuerza de reacción ($F_x$ y $F_y$) y un par o momento de reacción ($M$).

¿Cuántas incógnitas y qué tipo de reacción genera cualquiera de los apoyos o conexiones bidimensionales que se muestran en esta imagen?

Cada uno genera $1$ sola incógnita, correspondiente a una fuerza con línea de acción conocida (perpendicular a la superficie de contacto, a la barra o ranura, o a lo largo del cable/eslabón).

¿Qué características deben tener las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio sujeto a dos fuerzas?

Las dos fuerzas deben tener exactamente la misma magnitud, la misma línea de acción (ser colineales) y sentidos opuestos.

¿Qué condición geométrica deben satisfacer las líneas de acción de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido en equilibrio sujeto a tres fuerzas?

Las líneas de acción de las tres fuerzas deben ser concurrentes (intersecarse todas en un mismo punto) o paralelas.

¿Cuáles son las seis ecuaciones escalares independientes para el equilibrio de un cuerpo rígido en tres dimensiones?

$\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum F_z = 0$, $\sum M_x = 0$, $\sum M_y = 0$ y $\sum M_z = 0$.

¿Cuántas componentes de reacción desconocidas introduce una rótula esférica (bola y cuenca) en una estructura tridimensional?

Introduce $3$ componentes de fuerza desconocidas ($F_x$, $F_y$, $F_z$) y ningún par, ya que permite la rotación libre en las tres direcciones.

¿Cómo se expresan los primeros momentos de un área plana $A$ con respecto a los ejes coordenados $x$ e $y$?

$Q_x = \int y\,dA = \bar{y}A$ y $Q_y = \int x\,dA = \bar{x}A$, donde $\bar{x}$ e $\bar{y}$ son las coordenadas del centroide del área.

¿Qué establece el segundo teorema de Pappus-Guldinus para el volumen de un cuerpo de revolución?

Establece que el volumen generado al rotar un área plana alrededor de un eje fijo que no la interseca es igual al área multiplicada por la distancia recorrida por su centroide: $V = 2\pi \bar{y} A$.

¿Por qué fuerza concentrada equivalente se puede reemplazar una carga distribuida $w(x)$ sobre una viga?

Por una sola fuerza cuya magnitud es igual al área bajo la curva de carga ($W = \int w\,dx$) y cuya línea de acción pasa exactamente a través del centroide de dicha área.

¿Cuál es la relación matemática entre el número de elementos ($m$) y el número de nodos ($n$) en una armadura plana simple?

$m = 2n - 3$.

¿Bajo qué condición en un nodo descargado que conecta tres elementos se determina que uno es un elemento de fuerza cero?

Si dos de los elementos son colineales y no existe ninguna carga exterior o reacción aplicada en el nodo, el tercer elemento es un elemento de fuerza cero.

¿Cuáles son las relaciones diferenciales entre la carga distribuida $w$, la fuerza cortante $V$ y el momento flector $M$ en una viga?

$\frac{dV}{dx} = -w$ y $\frac{dM}{dx} = V$.

¿Qué diferencia en la distribución de la carga distingue la forma de un cable parabólico de la de una catenaria?

Un cable parabólico soporta una carga distribuida uniformemente por unidad de longitud horizontal ($y = \frac{wx^2}{2T_0}$), mientras que una catenaria soporta una carga distribuida uniformemente a lo largo de su propia longitud ($y = c\cosh\left(\frac{x}{c}\right)$), como ocurre bajo su propio peso.

¿Cómo se diferencian las ecuaciones de la fuerza máxima de fricción estática ($F_m$) y de la fuerza de fricción cinética ($F_k$)?

La fuerza máxima de fricción estática ocurre en movimiento inminente y es $F_m = \mu_s N$, mientras que una vez que el cuerpo se desliza, la fuerza es $F_k = \mu_k N$, donde generalmente $\mu_k < \mu_s$.

¿Qué ecuación rige la relación de tensiones $T_1$ y $T_2$ ($T_2 > T_1$) en una banda plana cuando el deslizamiento sobre un tambor es inminente?

$\frac{T_2}{T_1} = e^{\mu_s \beta}$, donde $\beta$ es el ángulo de contacto expresado en radianes y $\mu_s$ es el coeficiente de fricción estática.

¿Qué establece el teorema de los ejes paralelos (o teorema de Steiner) para el momento de inercia de un área?

Establece que el momento de inercia $I$ de un área con respecto a cualquier eje es igual al momento de inercia centroidal paralelo $\bar{I}$ más el producto del área $A$ y el cuadrado de la distancia $d$ entre ambos ejes: $I = \bar{I} + Ad^2$.