Chapitre 5 : Calcul booleen

Définition d’une borne supérieur : (explication+notation)

Définition d’une borne inférieur : (explication+notation)

Si x et y sont en relation, les éléments x borne supérieur y et x borne inférieur y existent et se déduisent immédiatement au regard de la hiérarchie :

Un ensemble ordonée E est un treilli si :

Dans un treillie les opération bornes supérieur/inférieur ont deux caractéristique qui sont :

La symétrie et l’associativité

Exemple de la symétrie et de l’associativité des éléments x,y et z d’un treillis :

Propriété concernant les treillis de cardinals finit :

Une algèbre de bool est un treilli qui est a la fois (2)

Distributif et complémenté

Un treilli est distributif si :

Un treilli est dit complémenté si :

Théorème complément d’une algèbre de Boole :

Propriété de la borne supérieur et inférieur dans une algébre de boole (tableau 5) :

Propriété de la distributivité dans une algébre de boole (tableau 2) :

Propriété de la loi d’absorption dans une algébre de boole (tableau 2) :

Propriété de la complémentation dans une algébre de boole (tableau 5) :

Propriété de la loi de morgane dans une algébre de boole (tableau 2) :

Dans l’algèbre de Boole B = {0 ; 1 }, on obtient les formules suivantes :

Il est même possible d’y traduire numériquement les calculs booléens : (+ notation)

Définition atome :

Dans une algèbre de Boole, un atome est un successeur immédiat du plus petit élément p.

Théorème des atomes (algèbre de boole) :

Dans une algèbre de Boole, tout élément x différent de p est la somme booléenne des atomes qui le minorent. Une telle décomposition est unique, à l’ordre des termes.

Théorème de stone :