matrice

Définir une matrice à n lignes et p colonnes sur K.

Pour n,p≥1 et K∈{ℝ,ℂ}, une matrice à n lignes et p colonnes est une application de [1,n]×[1,p] dans K. Elle est notée A=(aᵢⱼ)₁≤ᵢ≤ₙ,₁≤ⱼ≤ₚ et appartient à Mₙ,ₚ(K). Les aᵢⱼ sont ses coefficients.

Définir une matrice ligne, une matrice colonne et une matrice carrée.

Une matrice ligne possède une seule ligne (n=1). Une matrice colonne possède une seule colonne (p=1). Une matrice carrée possède autant de lignes que de colonnes (n=p).

Définir les coefficients diagonaux d'une matrice carrée.

Pour A=(aᵢⱼ)∈Mₙ(K), les coefficients diagonaux sont les aᵢᵢ pour i∈[1,n].

Définir la matrice nulle.

La matrice nulle 0ₙ,ₚ∈Mₙ,ₚ(K) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls : ∀i,j, aᵢⱼ=0. Si n=p, elle est notée 0ₙ.

Définir une matrice triangulaire supérieure.

Une matrice carrée A=(aᵢⱼ)∈Mₙ(K) est triangulaire supérieure si ∀i,j∈[1,n], i>j ⇒ aᵢⱼ=0. Tous les coefficients strictement sous la diagonale sont nuls.

Définir une matrice triangulaire inférieure.

Une matrice carrée A=(aᵢⱼ)∈Mₙ(K) est triangulaire inférieure si ∀i,j∈[1,n], i<j ⇒ aᵢⱼ=0. Tous les coefficients strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.

Définir une matrice diagonale.

Une matrice carrée A=(aᵢⱼ)∈Mₙ(K) est diagonale si ∀i≠j, aᵢⱼ=0. Seuls ses coefficients diagonaux peuvent être non nuls.

Définir une matrice scalaire.

Une matrice scalaire est une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à un même α∈K. Elle s'écrit αIₙ.

Définir la matrice identité.

La matrice identité Iₙ∈Mₙ(K) est la matrice scalaire associée à 1. Ses coefficients sont δᵢⱼ : ils valent 1 si i=j et 0 sinon.

Définir l'addition de deux matrices.

Pour A=(aᵢⱼ) et B=(bᵢⱼ) dans Mₙ,ₚ(K), leur somme A+B est la matrice de Mₙ,ₚ(K) définie par (A+B)ᵢⱼ=aᵢⱼ+bᵢⱼ.

Quelles propriétés possède l'addition matricielle ?

L'addition est associative et commutative. Son élément neutre est 0ₙ,ₚ. Toute matrice A possède un opposé −A obtenu en opposant chacun de ses coefficients. Ainsi (Mₙ,ₚ(K),+) est un groupe abélien.

Définir la multiplication d'une matrice par un scalaire.

Pour λ∈K et A=(aᵢⱼ)∈Mₙ,ₚ(K), λA est la matrice définie par (λA)ᵢⱼ=λaᵢⱼ.

Énoncer les propriétés de la multiplication scalaire.

Pour λ,μ∈K et A,B∈Mₙ,ₚ(K) : λ(μA)=(λμ)A ; (λ+μ)A=λA+μA ; λ(A+B)=λA+λB ; 1A=A.

Définir une matrice élémentaire Eᵢⱼ.

Pour i∈[1,n] et j∈[1,p], Eᵢⱼ∈Mₙ,ₚ(K) possède un coefficient égal à 1 en position (i,j) et tous les autres coefficients nuls.

Énoncer la décomposition d'une matrice sur les matrices élémentaires.

Pour A=(aᵢⱼ)∈Mₙ,ₚ(K), A=Σ(i=1 à n)Σ(j=1 à p)aᵢⱼEᵢⱼ. Cette écriture est unique.

Faire la démonstration de la décomposition sur les matrices élémentaires.

Posons B=ΣᵢΣⱼaᵢⱼEᵢⱼ. Le coefficient de B en position (r,s) vaut ΣᵢΣⱼaᵢⱼδᵢᵣδⱼₛ=aᵣₛ. Ainsi B et A ont les mêmes coefficients, donc B=A. L'unicité découle de l'identification des coefficients.

Définir le produit de deux matrices.

Pour A∈Mₙ,ₚ(K) et B∈Mₚ,ᵩ(K), AB∈Mₙ,ᵩ(K) est défini par (AB)ᵢⱼ=Σ(k=1 à p)aᵢₖbₖⱼ.

Quelle condition permet de multiplier deux matrices ?

Le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde. Si A est de taille n×p et B de taille p×q, alors AB est de taille n×q.

Énoncer les propriétés de distributivité du produit matriciel.

Pour des matrices de tailles compatibles : (A+B)C=AC+BC et A(B+C)=AB+AC.

Énoncer les propriétés de compatibilité du produit matriciel avec les scalaires.

Pour λ∈K et des matrices A,B de tailles compatibles : (λA)B=A(λB)=λ(AB).

Énoncer l'associativité du produit matriciel.

Pour A∈Mₘ,ₙ(K), B∈Mₙ,ₚ(K) et C∈Mₚ,ᵩ(K), (AB)C=A(BC).

Faire la démonstration de l'associativité du produit matriciel.

Pour i∈[1,m] et j∈[1,q], [(AB)C]ᵢⱼ=Σ(k=1 à p)(Σ(r=1 à n)aᵢᵣbᵣₖ)cₖⱼ=Σ(r=1 à n)Σ(k=1 à p)aᵢᵣbᵣₖcₖⱼ=Σ(r=1 à n)aᵢᵣ(Σ(k=1 à p)bᵣₖcₖⱼ)=[A(BC)]ᵢⱼ. Donc (AB)C=A(BC).

Quel est le rôle de la matrice identité dans le produit matriciel ?

Pour A∈Mₙ,ₚ(K), IₙA=A et AIₚ=A. Les matrices identités sont les éléments neutres du produit lorsque les dimensions sont compatibles.

Exprimer le produit AX à l'aide des colonnes de A.

Si A=(C₁|⋯|Cₚ)∈Mₙ,ₚ(K) et X=(x₁,…,xₚ)ᵀ, alors AX=x₁C₁+⋯+xₚCₚ.

Faire la démonstration de l'expression de AX comme combinaison linéaire des colonnes.

Pour chaque i∈[1,n], (AX)ᵢ=Σ(j=1 à p)aᵢⱼxⱼ. Le coefficient de la combinaison ΣⱼxⱼCⱼ à la ligne i est également Σⱼxⱼaᵢⱼ. Les coefficients sont égaux, donc AX=ΣⱼxⱼCⱼ.

Énoncer la formule du produit de deux matrices élémentaires.

Pour des indices compatibles, Eₐ,ᵦE𝚌,𝚍=δᵦ𝚌Eₐ,𝚍. Le produit est nul si b≠c et vaut Eₐ,𝚍 si b=c.

Faire la démonstration du produit de deux matrices élémentaires.

Le coefficient (i,j) de Eₐ,ᵦE𝚌,𝚍 vaut Σₖδᵢₐδₖᵦδₖ𝚌δⱼ𝚍=δᵦ𝚌δᵢₐδⱼ𝚍. Ce sont exactement les coefficients de δᵦ𝚌Eₐ,𝚍.

Définir la transposée d'une matrice.

Pour A=(aᵢⱼ)∈Mₙ,ₚ(K), sa transposée Aᵀ∈Mₚ,ₙ(K) est définie par (Aᵀ)ᵢⱼ=aⱼᵢ. Les lignes deviennent des colonnes et réciproquement.

Définir une matrice symétrique.

Une matrice A∈Mₙ(K) est symétrique si Aᵀ=A. L'ensemble des matrices symétriques est noté Sₙ(K).

Définir une matrice antisymétrique.

Une matrice A∈Mₙ(K) est antisymétrique si Aᵀ=−A. L'ensemble des matrices antisymétriques est noté Aₙ(K).

Quelle propriété possèdent les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique ?

Si Aᵀ=−A, alors pour tout i, aᵢᵢ=−aᵢᵢ. Comme K=ℝ ou ℂ, on obtient 2aᵢᵢ=0, donc aᵢᵢ=0.

Énoncer la propriété de double transposition.

Pour toute matrice A∈Mₙ,ₚ(K), (Aᵀ)ᵀ=A.

Énoncer la linéarité de la transposition.

Pour A,B∈Mₙ,ₚ(K) et λ∈K, (λA+B)ᵀ=λAᵀ+Bᵀ.

Énoncer la propriété de transposition d'un produit.

Pour A∈Mₙ,ₚ(K) et B∈Mₚ,ᵩ(K), (AB)ᵀ=BᵀAᵀ. L'ordre des facteurs est inversé.

Faire la démonstration de la formule (AB)ᵀ=BᵀAᵀ.

Pour i∈[1,q] et j∈[1,n], [(AB)ᵀ]ᵢⱼ=(AB)ⱼᵢ=Σ(k=1 à p)aⱼₖbₖᵢ=Σ(k=1 à p)(Bᵀ)ᵢₖ(Aᵀ)ₖⱼ=(BᵀAᵀ)ᵢⱼ. Donc (AB)ᵀ=BᵀAᵀ.

Énoncer les propriétés de stabilité des matrices symétriques et antisymétriques.

Les matrices nulles sont symétriques et antisymétriques. Si A,B sont symétriques, λA+B est symétrique. Si A,B sont antisymétriques, λA+B est antisymétrique. Ces propriétés découlent de la linéarité de la transposition.

Définir une matrice par blocs.

Une matrice par blocs est une matrice dont les coefficients sont regroupés en sous-matrices compatibles. Elle peut être présentée par lignes, par colonnes ou sous forme mixte.

Énoncer les règles de transposition d'une matrice par blocs.

La transposition échange les lignes de blocs et les colonnes de blocs, en transposant chaque bloc. En particulier, si M=(A B ; C D) avec des tailles compatibles, Mᵀ=(Aᵀ Cᵀ ; Bᵀ Dᵀ).

Énoncer la formule du produit d'une matrice par une matrice de colonnes.

Si B=(C₁|⋯|Cᵩ) et si les produits sont définis, alors AB=(AC₁|⋯|ACᵩ).

Énoncer l'effet d'une multiplication par une matrice diagonale à gauche.

Si D=diag(d₁,…,dₙ) et A∈Mₙ,ₚ(K), alors DA est obtenue en multipliant chaque ligne i de A par dᵢ.

Énoncer l'effet d'une multiplication par une matrice diagonale à droite.

Si D=diag(d₁,…,dₚ) et A∈Mₙ,ₚ(K), alors AD est obtenue en multipliant chaque colonne j de A par dⱼ.

Définir une matrice de permutation de deux lignes.

Pour q≠r dans [1,n], Pᵩ,ᵣ=Σ(j∈[1,n]{q,r})Eⱼⱼ+Eᵩᵣ+Eᵣᵩ. C'est la matrice identité dont les lignes q et r ont été échangées.

Quel est l'effet de la multiplication par une matrice de permutation ?

Pour A∈Mₙ,ₚ(K), Pᵩ,ᵣA échange les lignes q et r de A. Pour A∈Mₚ,ₙ(K), APᵩ,ᵣ échange les colonnes q et r de A.

Faire la démonstration que la matrice de permutation est son propre inverse.

Une première permutation échange les lignes q et r. Une deuxième permutation identique rétablit leur ordre initial. Donc Pᵩ,ᵣ²=Iₙ, d'où Pᵩ,ᵣ⁻¹=Pᵩ,ᵣ.

Définir une matrice de dilatation élémentaire.

Pour q∈[1,n] et α∈K*, Dᵩ(α) est la matrice diagonale de taille n dont tous les coefficients diagonaux valent 1 sauf le q-ième, égal à α.

Quel est l'effet d'une multiplication par une matrice de dilatation ?

La multiplication Dᵩ(α)A multiplie la ligne q de A par α. La multiplication ADᵩ(α) multiplie la colonne q de A par α, avec des tailles compatibles.

Déterminer l'inverse d'une matrice de dilatation.

Pour α≠0, Dᵩ(α)⁻¹=Dᵩ(α⁻¹), car Dᵩ(α)Dᵩ(α⁻¹)=Iₙ.

Définir une matrice de transvection élémentaire.

Pour q≠r dans [1,n] et α∈K, Tᵩ,ᵣ(α)=Iₙ+αEᵩᵣ.

Quel est l'effet d'une multiplication par une matrice de transvection ?

La multiplication Tᵩ,ᵣ(α)A remplace la ligne q par Lᵩ+αLᵣ. La multiplication ATᵩ,ᵣ(α) remplace la colonne r par Cᵣ+αCᵩ.

Déterminer l'inverse d'une matrice de transvection.

Pour q≠r, Eᵩᵣ²=0. Donc (Iₙ+αEᵩᵣ)(Iₙ−αEᵩᵣ)=Iₙ. Ainsi Tᵩ,ᵣ(α)⁻¹=Tᵩ,ᵣ(−α).

Quelles sont les trois opérations élémentaires sur les lignes ?

Échanger deux lignes ; multiplier une ligne par un scalaire non nul ; ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne. Chacune est réversible.

Pourquoi les opérations élémentaires préservent-elles les solutions d'un système linéaire ?

Chaque opération élémentaire correspond à une multiplication à gauche par une matrice inversible P. Le système AX=B devient PAX=PB. En multipliant par P⁻¹, on retrouve AX=B. Les deux systèmes ont donc exactement les mêmes solutions.

Définir un système linéaire sous forme matricielle.

Pour A∈Mₙ,ₚ(K), B∈Mₙ,₁(K) et X∈Mₚ,₁(K), un système linéaire s'écrit AX=B. Les coefficients de X sont les inconnues.

Définir le système homogène associé à un système linéaire.

Le système homogène associé à AX=B est AX=0, où 0 désigne la matrice-colonne nulle de taille n.

Définir un système linéaire compatible.

Le système AX=B est compatible s'il possède au moins une solution. Cela équivaut à dire que B est une combinaison linéaire des colonnes de A.

Énoncer la structure de l'ensemble des solutions d'un système compatible.

Si X₀ est une solution particulière de AX=B, alors toutes les solutions sont exactement les X=X₀+H, où H parcourt l'ensemble des solutions du système homogène AH=0.

Faire la démonstration de la structure des solutions d'un système compatible.

Si AX=B et AX₀=B, alors A(X−X₀)=AX−AX₀=B−B=0. Donc H=X−X₀ est solution du système homogène. Réciproquement, si AH=0, alors A(X₀+H)=AX₀+AH=B. Ainsi les solutions sont exactement X₀+H.

Quel est le principe du pivot de Gauss ?

Appliquer des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée (A|B) afin de transformer le système en un système échelonné équivalent, puis déterminer ses solutions par substitution ou identification des variables libres.

Quel est le rôle des matrices 0ₙ et Iₙ dans Mₙ(K) ?

La matrice 0ₙ est l'élément neutre de l'addition et Iₙ est l'élément neutre du produit. Pour toute A∈Mₙ(K), A+0ₙ=A et AIₙ=IₙA=A.

Le produit matriciel est-il commutatif ?

Non, en général AB≠BA, même pour deux matrices carrées de même taille. Lorsqu'AB=BA, on dit que A et B commutent.

Le produit de deux matrices non nulles peut-il être nul ?

Oui, pour n≥2. Par exemple dans M₂(K), A=E₁₁ et B=E₂₂ sont non nulles, mais AB=0₂.

Énoncer la propriété des puissances de matrices qui commutent.

Si A,B∈Mₙ(K) et AB=BA, alors pour tous p,q∈ℕ, AᵖBᵩ=BᵩAᵖ.

Énoncer la formule du binôme matriciel.

Si A,B∈Mₙ(K) et AB=BA, alors pour tout q∈ℕ, (A+B)ᵩ=Σ(k=0 à q)C(q,k)AᵏBᵩ⁻ᵏ. La commutativité de A et B est indispensable.

Énoncer les propriétés du produit des matrices diagonales et triangulaires.

Le produit de deux matrices diagonales est diagonal et commutatif. Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieur.

Définir une matrice inversible.

Une matrice A∈Mₙ(K) est inversible s'il existe B∈Mₙ(K) tel que AB=BA=Iₙ. La matrice B est unique et notée A⁻¹.

Définir le groupe linéaire GLₙ(K).

GLₙ(K) est l'ensemble des matrices inversibles de Mₙ(K). Il contient Iₙ, est stable par multiplication et par passage à l'inverse. Muni du produit matriciel, c'est un groupe.

Énoncer la propriété de l'inverse de la transposée.

Une matrice A∈Mₙ(K) est inversible si et seulement si Aᵀ est inversible. Dans ce cas, (Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ.

Faire la démonstration de la formule de l'inverse de la transposée.

Si A est inversible, AA⁻¹=A⁻¹A=Iₙ. En transposant et en utilisant (AB)ᵀ=BᵀAᵀ, on obtient (A⁻¹)ᵀAᵀ=Aᵀ(A⁻¹)ᵀ=Iₙ. Donc (Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ. La réciproque s'obtient en appliquant le même raisonnement à Aᵀ.

Énoncer le critère d'inversibilité d'une matrice triangulaire ou diagonale.

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Son inverse est triangulaire du même type. Pour D=diag(d₁,…,dₙ), D est inversible si et seulement si tous les dᵢ sont non nuls ; alors D⁻¹=diag(1/d₁,…,1/dₙ).

Énoncer la propriété d'un inverse à gauche ou à droite pour une matrice carrée.

Pour A,B∈Mₙ(K), AB=Iₙ si et seulement si BA=Iₙ. Il suffit donc de trouver un inverse à gauche ou à droite pour établir que A est inversible, et alors B=A⁻¹.