Espaces Vectoriels Normés et Distances

Flashcards de vocabulaire et définitions mathématiques sur les normes, les espaces vectoriels normés et les distances d'après le cours.

Espace vectoriel normé

Un couple $(E, N)$ formé d'un espace vectoriel $E$ et d'une norme $N$ définie sur $E$.

Axiome de séparation (pour une norme)

Propriété d'une application $N: E \rightarrow \frac{\mathbb{R}}{+}$ vérifiant $\forall x \in E, N(x) = 0_E \iff x = 0_E$.

Homogénéité (pour une norme)

Propriété d'une application $N: E \rightarrow \mathbb{R}_+$ vérifiant $\forall x \in E, \forall \lambda \in \mathbb{R}, N(\lambda x) = |\lambda| N(x)$.

Axiome de l'inégalité triangulaire (pour une norme)

Propriété d'une application $N: E \rightarrow \mathbb{R}_+$ vérifiant $\forall (x,y) \in E^2, N(x+y) \le N(x) + N(y)$.

Norme 1 sur $\mathbb{R}^n$

Norme définie pour $x = (x_i)_{i \in [\![1, n]\!]}$ par

$\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$.

Norme 2 sur $\mathbb{R}^n$

Norme euclidienne classique définie pour $x = (x_i)_{i \in [\![1, n]\!]}$ par $\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}$.

Norme $p$ sur $\mathbb{R}^n$

Norme définie pour $p \in [1, +\infty[$ par $\|x\|_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}$.

Norme infinie sur $\mathbb{R}^n$

Norme définie par $\|x\|_\infty = \sup(\{ |x_i| : i \in [\![1, n]\!] \})$.

Norme de la convergence en moyenne

Norme $\|\cdot\|_1$ sur $\mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})$ définie par $\|f\|_1 = \int_a^b |f|$.

Norme de la convergence en moyenne quadratrique

Norme $\|\cdot\|_2$ sur $\mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})$ définie par $\|f\|_2 = \sqrt{\int_a^b f^2}$.

Norme de la convergence uniforme

Norme $\|\cdot\|_\infty$ sur $\mathcal{B}(A, E)$ et $\mathcal{C}^0(A = [a,b], \mathbb{R})$ définie par $\|f\|_\infty = \sup(\{ |f(x)| : x \in A \})$.

Deuxième inégalité triangulaire

Propriété stipulant que pour tout $(x,y) \in E^2$, $|N(x) - N(y)| \le N(x - y)$.

Distance sur un ensemble $E$

Application $d: E \times E \rightarrow \mathbb{R}_+$ qui vérifie l'axiome de séparation, l'axiome de symétrie et l'axiome de l'inégalité triangulaire.

Axiome de symétrie (pour une distance)

Propriété d'une distance $d$ spécifiant que pour tout $(x,y) \in E^2$, $d(x,y) = d(y,x)$.