Cálculo Diferencial: Limites e Derivadas

Flashcards de vocabulário e conceitos fundamentais cobrindo cálculo de limites, regras de derivação, derivadas trigonométricas e transcendentais, e determinação de extremos e concavidade.

Interpretação geométrica da derivada

Representa geometricamente a inclinação da reta tangente à curva de uma função em um determinado ponto.

Definição de derivada por limite

$$f'(x) = \frac{\lim_{h \to 0} [f(x+h) - f(x)]}{h}$$

Regra da cadeia

Regra de derivação para funções compostas: seja $y = f(u)$ e $u = g(x)$, então $y' = f'(u) \cdot u'$.

Regra do produto de derivadas

$$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$$

Regra do quociente de derivadas

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$$

Condição de inexistência do limite bilateral

O limite bilateral não existe quando os limites laterais pela esquerda e pela direita são diferentes, ou quando pelo menos um dos limites laterais não existe.

Indeterminações de limites

Formas indeterminadas no cálculo de limites: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $0^0$, $\infty^0$ e $1^\infty$.

Limite fundamental trigonométrico do seno

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$$

Limite fundamental trigonométrico da tangente

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1$$

Limite fundamental trigonométrico do cosseno

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = 0$$

Regra do termo dominante

Método prático para calcular o limite de um polinômio quando $x \to \pm\infty$, no qual apenas o termo de maior grau precisa ser considerado.

Derivada de $\sin(x)$

$$\cos(x)$$

Derivada de $\cos(x)$

$$-\sin(x)$$

Derivada de $\tan(x)$

$$\sec^2(x)$$

Derivada de $\cot(x)$

$$-\csc^2(x)$$

Derivada de $\sec(x)$

$$\sec(x) \cdot \tan(x)$$

Derivada de $\csc(x)$

$$-\csc(x) \cdot \cot(x)$$

Derivada de $e^u$

$$D(e^u) = e^u \cdot u'$$

Derivada de $a^u$

$D(a^u) = a^u \cdot \ln(a) \cdot u'$, para $a > 0$ e $a \neq 1$.

Derivada de $\ln(u)$

$$D(\ln(u)) = \frac{u'}{u}$$

Derivada de $y = u^v$

$$y' = v \cdot u^{v-1} \cdot u' + u^v \cdot \ln(u) \cdot v'$$

Ponto crítico

Ponto do domínio onde a primeira derivada da função se anula, ou seja, $f'(x) = 0$.

Determinação de extremos pela 1ª derivada

Da esquerda para a direita: se a função passa de um intervalo crescente para decrescente, o ponto crítico é de máximo local; se passa de decrescente para crescente, é de mínimo local.

Determinação de extremos pela 2ª derivada

Ao avaliar o ponto crítico na segunda derivada: se $f''(x) > 0$, o ponto é de mínimo local; se $f''(x) < 0$, o ponto é de máximo local.

Concavidade

Característica da curva dada pelo sinal da segunda derivada: concavidade voltada para cima se $f''(x) > 0$ ($f'(x)$ crescente) e concavidade voltada para baixo se $f''(x) < 0$ ($f'(x)$ decrescente).

Ponto de inflexão

Ponto do domínio onde ocorre a mudança no sentido da concavidade do gráfico da função.

Significado geométrico da derivada

Representação da inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto.

Definição de derivada por limite

Expressão dada pelo limite fundamental $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.

Regra da Cadeia

Regra de derivação para funções compostas expressa por: se $y = f(u)$ e $u = g(x)$, então $y' = f'(u) \cdot u'$.

Regra do produto

Regra para derivar a multiplicação de duas funções expressa pela fórmula $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$.

Regra do quociente

Regra para derivar a divisão de duas funções expressa pela fórmula $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$.

Ponto crítico

Ponto no domínio de uma função no qual a primeira derivada se anula, isto é, $f'(x) = 0$.

Máximo local

Maior valor de $y$ em um determinado intervalo. Pelo teste da primeira derivada, ocorre quando a curva transita de um comportamento crescente para decrescente (analisado da esquerda para a direita).

Mínimo local

Menor valor de $y$ em um determinado intervalo. Pelo teste da primeira derivada, ocorre quando a curva transita de um comportamento decrescente para crescente (analisado da esquerda para a direita).

Condição de existência do limite bilateral

O limite bilateral em um ponto existe se, e somente se, os limites laterais ($x \to a^+$ e $x \to a^-$) existirem e forem iguais entre si.

Indeterminações de limites

Formas matemáticas indeterminadas no cálculo de limites, compreendendo $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $0^0$, $\infty^0$ e $1^\infty$.

Primeiro limite fundamental trigonométrico

Relação limite fundamental dada por $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$.

Limite fundamental da tangente

Relação limite trigonométrica expressa por $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1$.

Derivada de $e^u$

Resultado da diferenciação da função exponencial natural composta dado por $D(e^u) = e^u \cdot u'$.

Derivada de $a^u$

Resultado da diferenciação exponencial de base genérica ($a > 0$ e $a \neq 1$) dado por $D(a^u) = a^u \cdot \ln(a) \cdot u'$.

Derivada de $\ln(u)$

Resultado da diferenciação do logaritmo natural composto dado pela expressão $D(\ln(u)) = \frac{u'}{u}$.

Derivada de $\log_a(x)$

Taxa de variação da função logarítmica de base genérica ($a > 0$ e $a \neq 1$), dada por $y' = \frac{1}{x} \cdot \log_a(e)$.

Derivada da função do tipo $u^v$

Fórmula para a diferenciação onde base e expoente são funções de $x$, expressa por $y' = v \cdot u^{v-1} \cdot u' + u^v \cdot \ln(u) \cdot v'$.

Derivada de $\tan(x)$

Diferenciação trigonométrica expressa por $D(\tan(x)) = \sec^2(x)$.

Derivada de $\cot(x)$

Diferenciação trigonométrica expressa por $D(\cot(x)) = -\csc^2(x)$.

Derivada de $\sec(x)$

Diferenciação trigonométrica expressa por $D(\sec(x)) = \sec(x) \cdot \tan(x)$.

Derivada de $\csc(x)$

Diferenciação trigonométrica expressa por $D(\csc(x)) = -\csc(x) \cdot \cot(x)$.

Critério da segunda derivada para extremos

Método que avalia os pontos críticos ($f' = 0$) na segunda derivada: um valor $f''(x) > 0$ indica mínimo local, enquanto um valor $f''(x) < 0$ indica máximo local.

Concavidade para cima

Comportamento geométrico do gráfico verificado quando a primeira derivada $f'(x)$ é crescente ou a segunda derivada é estritamente positiva ($f''(x) > 0$).

Concavidade para baixo

Comportamento geométrico do gráfico verificado quando a primeira derivada $f'(x)$ é decrescente ou a segunda derivada é estritamente negativa ($f''(x) < 0$).

Ponto de inflexão

Ponto sobre o gráfico de uma função onde ocorre a mudança no sentido da concavidade.

Termo dominante em limites polinomiais

Regra prática que indica que, ao analisar o limite de uma função polinomial com $x \to \pm\infty$, apenas o termo de maior expoente determina o resultado.

Comportamento de $\frac{1}{x^n}$ para $x \to 0$

Teorema segundo o qual, para $n$ inteiro positivo: $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^n} = +\infty$; pela esquerda, $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} = +\infty$ se $n$ for par, e $-\infty$ se $n$ for ímpar.