(P): ARGOMENTO 3: Variabili Aleatorie Generali e Funzione di Ripartizione

(D9) Definizione di Variabile Aleatoria (V.A.) e Misurabilità

• Definizione: Sia (Ω,A,P) uno spazio di probabilità. Una funzione X:Ω→R è una variabile aleatoria se per ogni t∈R:

  {ω∈Ω:X(ω)≤t}∈A

• Notazione Controimmagine: L'insieme sopra corrisponde a X−1((−∞,t])∈A.

• Significato: L'evento {X≤t} appartiene alla σ-algebra A, quindi ne possiamo calcolare la probabilità P(X≤t).

D10/D14 Definizione formale di Legge (o Distribuzione) di una V.A. X.

• Definizione: Per ogni A∈B(R) (sigma-algebra di Borel su R), la mappa:

  A⟼P({ω∈Ω:X(ω)∈A})

  si dice legge di X oppure distribuzione di X (indicata con PX​ o LX​).

• Significato: È la misura di probabilità indotta su R da X, cioè PX​(A)=P(X∈A).

(D15) Definizione di Funzione di Ripartizione FX​ e suo ruolo nel determinare la Legge PX​

• Definizione: Sia (Ω,A,P) uno spazio di probabilità e X una V.A. La funzione FX​:R→[0,1] definita da:

  FX​(x):=P(X≤x)=P(X∈(−∞,x])

  si dice funzione di distribuzione o di ripartizione di X.

• Caratterizzazione della Legge: FX​(x) descrive completamente la legge PX​.

(D13) Definizione formale di Variabile Aleatoria Degenere (o Costante)

Una variabile aleatoria X:Ω→R si dice degenere (o deterministica) se esiste un valore costante c∈R tale che:

P(X=c)=1(ovvero P({ω∈Ω:X(ω)=c})=1)