Transport chapitre 3 : Diffusion de particules

Diffusion de particules

Transport de particules sans mouvement macroscopique, des zones les plus concentrées vers les zones les moins concentrées. $\quad$ Cesse quand la concentration est uniforme.

Vecteur densité de courant de convection

$\overrightarrow{j_{p,\mathrm{conv}}}=n(M,t)\,\overrightarrow{v}(M,t)$ $\quad$ en $\mathrm{m^{-2}\cdot s^{-1}}$ $\quad$ ($\overrightarrow{v}$ : vitesse de la particule de fluide qui entraîne les particules)

Vecteur densité de courant de diffusion

$\delta N=\overrightarrow{j_p}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{S}\,\mathrm{d}t$ $\quad$ $\overrightarrow{j_p}$ en $\mathrm{m^{-2}\cdot s^{-1}}$ $\quad$ « Entrant » et « sortant » dépendent de l'orientation de $\mathrm{d}\overrightarrow{S}$, pas de celle de $\overrightarrow{j_p}$.

Flux de particules

$\phi=\iint_S\overrightarrow{j_p}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{S}$ $\quad$ en $\mathrm{s^{-1}}$ $\quad$ Nombre algébrique de particules traversant $S$ par unité de temps.

Densité particulaire

$n=\dfrac{\delta N}{\mathrm{d}\tau}$ $\quad$ en $\mathrm{m^{-3}}$ $\quad$ ($\delta N$ particules dans le volume mésoscopique $\mathrm{d}\tau$)

Concentration molaire

$C=\dfrac{\tilde n}{V}=\dfrac{N}{\mathcal N_AV}=\dfrac{n}{\mathcal N_A}$ $\quad$ en $\mathrm{mol\cdot m^{-3}}$ $\quad$ $\mathcal N_A=6{,}02\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ $\quad$ ($\tilde n$ : quantité de matière en mol)

Loi de Fick

$\overrightarrow{j_p}=-D\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,n$ $\quad$ $D$ coefficient de diffusion en $\mathrm{m^2\cdot s^{-1}}$ $\quad$ Le signe $-$ : diffusion des zones denses vers les zones moins denses. $\quad$ Analogue de la loi de Fourier.

Coefficient de diffusion $D$

Dépend de l'espèce qui diffuse et du milieu ; dans un gaz, de $T$ et de $P$. $\quad$ Ordres de grandeur : gaz $\sim10^{-5}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}$, liquide $\sim10^{-9}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}$.

Limites de validité de la loi de Fick

Non valable si la concentration est trop faible (la moyenne statistique n'a plus de sens), trop élevée (interactions à courte portée entre particules), ou si elle varie trop rapidement dans le temps ou l'espace.

Terme source

$\alpha$ : nombre de particules produites algébriquement par unité de volume et de temps, en $\mathrm{m^{-3}\cdot s^{-1}}$ $\quad$ Ex. : réaction chimique, fission nucléaire. $\quad$ Si $\alpha<0$ : terme puits.

Équation de la diffusion 1D sans terme source

$\dfrac{\partial n}{\partial t}=D\,\dfrac{\partial^2n}{\partial z^2}$ $\quad$ ($D$ uniforme)

Équation de la diffusion 1D avec terme source

$\dfrac{\partial n}{\partial t}=D\,\dfrac{\partial^2n}{\partial z^2}+\alpha$

Équation de la diffusion cylindrique

$n=n(r,t)$ $\quad$ $\dfrac{\partial n}{\partial t}=D\,\dfrac1r\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial n}{\partial r}\right)+\alpha$

Équation de la diffusion sphérique

$n=n(r,t)$ $\quad$ $\dfrac{\partial n}{\partial t}=D\,\dfrac1{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial n}{\partial r}\right)+\alpha$

Équation de la diffusion, géométrie quelconque

$\dfrac{\partial n(M,t)}{\partial t}=D\,\Delta n(M,t)+\alpha(M,t)$

Irréversibilité

La diffusion est irréversible : l'équation de diffusion n'est pas invariante par renversement du temps.

Ordre de grandeur du temps de diffusion

$\dfrac1\tau=\dfrac{D}{L^2}$ $\quad$ soit $L=\sqrt{D\tau}$ $\quad$ Le temps de diffusion varie comme le carré de la distance : la diffusion est très inefficace aux grandes échelles.

Régime permanent

Sans terme source : $\mathrm{div}\,\overrightarrow{j_p}=0$ donc (Green-Ostrogradski) $\phi_e=\phi_s$ $\quad$ Pas d'accumulation de particules dans le volume.

Conditions aux limites

Trois types : densité connue en un point ($n(r_0)=n_0$) ; continuité du flux à l'interface entre deux milieux ; en cylindriques ou sphériques, $n$ ne peut pas être infinie en $r=0$ si l'axe (ou le centre) est dans le système.

Continuité du flux à l'interface

En $z_0$ entre deux milieux : $\phi(z_0^-)=\phi(z_0^+)$ $\quad$ $-D_1\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}z}(z_0^-)=-D_2\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}z}(z_0^+)$

Analogie des lois de transport

Ohm : $\overrightarrow{j}=-\gamma\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V$ ($\mathrm{A\cdot m^{-2}}$) $\quad$ Fourier : $\overrightarrow{j_{\mathrm{th}}}=-\lambda\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,T$ ($\mathrm{W\cdot m^{-2}}$) $\quad$ Fick : $\overrightarrow{j_p}=-D\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,n$ ($\mathrm{m^{-2}\cdot s^{-1}}$) $\quad$ Le courant est proportionnel au gradient de la grandeur qui le provoque, et dirigé dans le sens décroissant.