Dérivation des fonctions réelles de la variable réelle

Fiches de vocabulaire et notions clés sur le chapitre de dérivation des fonctions réelles d'une variable réelle : définitions fondamentales, formules d'opérations sur les dérivées, bijection réciproque, monotonie et points d'inflexion.

Pente (ou coefficient directeur) d'une droite

Nombre réel $m$ caractérisant la direction d'une droite non verticale dans son équation réduite $y = mx + p$, correspondant également au rapport $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ pour deux points distincts $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ de la droite.

Taux d'accroissement

Pour une fonction $f$ définie sur $I$ et un point $a \in I$, application définie pour tout $x \in I \setminus \{a\}$ par $T_{f,a}(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$, représentant la pente de la corde joignant le point d'abscisse $a$ au point d'abscisse $x$.

Nombre dérivé en un point

Limite finie en $a$ du taux d'accroissement $T_{f,a}(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$, notée $f'(a)$.

Tangente à la courbe représentative (au point d'abscisse $a$)

Droite vers laquelle tend la corde $(AM(x))$ quand $x$ tend vers $a$. Si $f$ est dérivable en $a$, c'est la droite passant par $A(a, f(a))$ de pente $f'(a)$, d'équation $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Tangente verticale

Droite d'équation $x = a$ obtenue lorsque le taux d'accroissement $T_{f,a}(x)$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$.

Lien entre dérivabilité et continuité en un point

Propriété selon laquelle si une fonction $f$ est dérivable en un point $a$, alors elle est nécessairement continue en $a$. La réciproque est en général fausse.

Application dérivée

Pour une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$, application notée $f' : I \rightarrow \mathbb{R}$ qui associe à tout réel $x \in I$ le nombre dérivé $f'(x) = \lim_{y \rightarrow x} \frac{f(y) - f(x)}{y - x}$.

Dérivée d'un produit

Propriété stipulant que si $f$ et $g$ sont dérivables en $a$, leur produit est dérivable en $a$ et vérifie la relation $(f \times g)'(a) = f'(a) \times g(a) + f(a) \times g'(a)$.

Dérivée d'une fonction composée

Théorème assurant que si $f$ est dérivable en $a$ et $g$ est dérivable en $f(a)$, alors $g \circ f$ est dérivable en $a$ et $(g \circ f)'(a) = f'(a) \times g'(f(a))$. Sur un intervalle, $(g \circ f)' = f' \times (g' \circ f)$.

Dérivée logarithmique

Dérivée d'une fonction de la forme $h(x) = \ln(|f(x)|)$ avec $f$ dérivable et ne s'annulant pas, donnée par la formule $h'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$.

Dérivée d'un quotient

Règle de calcul selon laquelle si $u$ et $v$ sont dérivables en $a$ avec $v(a) \neq 0$, le quotient est dérivable en $a$ et vérifie $\left(\frac{u}{v}\right)'(a) = \frac{u'(a)v(a) - u(a)v'(a)}{(v(a))^2}$.

Dérivée de la bijection réciproque

Pour une fonction $f$ continue, strictement monotone et dérivable sur $I$, sa bijection réciproque $\widetilde{f}^{-1}$ est dérivable en $b = f(a)$ si et seulement si $f'(a) \neq 0$, et l'on a $(\widetilde{f}^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(\widetilde{f}^{-1}(b))}$.

Caractérisation d'une fonction constante sur un intervalle

Équivalence selon laquelle une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ est constante si et seulement si pour tout $x \in I$, $f'(x) = 0$.

Condition suffisante de stricte monotonie

Propriété selon laquelle si une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et vérifie pour tout $x \in I$, $f'(x) > 0$ (respectivement $f'(x) < 0$), alors $f$ est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur $I$.

Dérivée seconde

Application notée $f''$, définie comme la dérivée de la fonction dérivée $f'$ lorsque cette dernière est elle-même dérivable.

Point d'inflexion

Point en lequel la courbe représentative d'une fonction traverse sa tangente, ce qui se produit notamment lorsque la dérivée seconde $f''$ s'annule en changeant de signe en ce point.