Beta dynamique

Quelle est l’équation de mesure du beta dynamique ?

rₜ = α + βₜ·rₜᴵ + wₜ

Quelle est l’équation dynamique mean-reverting du beta ?

βₜ = φ·βₜ₋₁ + (1 − φ)·β̄ + vₜ

Que représente β̄ ?

Le niveau de long terme du beta.

Que représente φ ?

La persistance du beta.

Que représente σᵥ² ?

La variance des innovations de l’état : elle contrôle combien le beta latent peut bouger.

Que représente σ𝑤² ?

La variance du bruit de mesure dans l’équation de rendement.

Qu’est-ce qu’un beta constant dans les quatre spécifications du cours ?

φ = 0 et σᵥ² = 0, donc βₜ = β̄.

Qu’est-ce qu’un Random Coefficient ?

0 < φ < 1 et σᵥ² > 0 : les écarts à β̄ se dissipent progressivement.

Qu’est-ce qu’un Random Walk ?

V(βₜ) = σᵥ² / (1 − φ²), pour |φ| < 1.

Qu’est-ce qu’un beta Mean Reverting ?

Parce que φ = 1, donc les chocs s’accumulent sans retour à la moyenne.

Quelle est l’espérance inconditionnelle du beta mean-reverting ?

E[βₜ] = β̄

Quelle est sa variance inconditionnelle ?

V(βₜ) = σᵥ² / (1 − φ²), pour |φ| < 1.

Pourquoi un random walk n’a-t-il pas de variance inconditionnelle finie ?

Parce que φ = 1, donc les chocs s’accumulent sans retour à la moyenne.

Quelle est la prédiction du beta ?

βₜ|ₜ₋₁ = φ·βₜ₋₁|ₜ₋₁ + (1 − φ)·β̄

Quelle est la variance prédite du beta ?

Pₜ|ₜ₋₁ = φ²·Pₜ₋₁|ₜ₋₁ + σᵥ²

Quelle est la prévision du rendement ?

rₜ|ₜ₋₁ = α + rₜᴵ·βₜ|ₜ₋₁

Quelle est la variance prédictive du rendement ?

Fₜ = (rₜᴵ)²·Pₜ|ₜ₋₁ + σ𝑤²

Quel est le gain de Kalman pour le beta scalaire ?

Kₜ = Pₜ|ₜ₋₁·rₜᴵ / Fₜ

Quelle est la mise à jour du beta ?

βₜ|ₜ = βₜ|ₜ₋₁ + Kₜ·ηₜ

Quel est l’effet d’un σᵥ² élevé ?

Le beta est autorisé à évoluer davantage et devient plus réactif.

Quel est l’effet d’un σ𝑤² élevé ?

Le filtre fait moins confiance aux nouveaux rendements observés.