Sammanfattning av Analys och Linjär Algebra

Övningskort med centrala matematiska begrepp, definitioner och formler inom analys och linjär algebra hämtade direkt från föreläsningsanteckningarna.

Singulär punkt

En punkt där funktionen eller dess derivata $f'(x)$ är odefinierad.

Kritisk punkt

En punkt där funktionens förstaderivata är noll, det vill säga $f'(x) = 0$.

Inflexionspunkt

En punkt där grafen övergår från att vara konvex till konkav (eller vice versa), där andraderivatan uppfyller $f''(x) = 0$.

Konvex funktion

En funktion där andraderivatan är icke-negativ, $f''(x) \ge 0$ ("positiv, glad"), och som har ett lokalt minimum om $f''(x) > 0$.

Konkav funktion

En funktion där andraderivatan är icke-positiv, $f''(x) \le 0$ ("negativ, ledsen"), och som har ett lokalt maximum om $f''(x) < 0$.

Lodrät asymptot

En linje där funktionen uppfyller $f(x) \rightarrow \pm\infty$, vilket inträffar för de värden på $x$ där funktionens nämnare är lika med $0$.

Sned asymptot

En linje $y = kx + m$ till vilken funktionen närmar sig så att $|f(x) - (kx + m)| \rightarrow 0$ då $x \rightarrow \pm\infty$.

Linjärisering (Tangent)

Tangenten till funktionen $f(x)$ i punkten $(a, f(a))$, given av formeln $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Feluppskattning vid linjärisering

Skillnaden mellan funktionens verkliga värde $f(x)$ och det uppskattade tangentvärdet $L(x)$, uttryckt som $E(x) = f(x) - L(x)$.

Lagranges restterm

Resttermen i en Taylorutveckling som ges av formeln $E_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$, där $s$ ligger mellan $a$ och $x$.

L'Hôpitals regel

En regel för att beräkna gränsvärden vid obestämda uttryck av formerna "$\frac{0}{0}$" eller "$\frac{\infty}{\infty}$" genom att beräkna gränsvärdet av kvoten mellan derivatorna: $\frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Ortsvektor

En vektor $\vec{r} = \vec{OP}$ med startpunkt i origo $O$ och slutpunkt i en given punkt $P$.

Skalärprodukt

Den algebraiska produkten av två vektorer $\mathbf{u} = (a, b)$ och $\mathbf{v} = (c, d)$, definierad som $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = ac + bd = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos(\theta)$, vilken är lika med $0$ om vektorerna är vinkelräta.

Ortogonal projektion

Projektionen av en vektor $\mathbf{u}$ i riktningen av en vektor $\mathbf{v}$, given av formeln $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^2}\mathbf{v}$.

Skalär projektion

Den skalära längden eller komponenten av en vektor $\mathbf{u}$ i riktningen av en vektor $\mathbf{v}$, definierad som $s = \|\mathbf{u}\| \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$.

Vektorprodukt (Kryssprodukt)

En operation mellan två tredimensionella vektorer, $\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$, som genererar en vinkelrät vektor vars norm \Area = \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| motsvarar arean av det uppspända parallellogrammet.

Skalär trippelprodukt (Volym)

Volymen av den parallellepiped som spänns upp av tre vektorer, definierad som $V = |\mathbf{w} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v})|$.

Planets ekvation (Skalärform)

Ekvationen för ett plan i tre dimensioner med normalvektorn $\mathbf{n} = (A, B, C)$ genom punkten $(x_0, y_0, z_0)$, given av $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Medelvärdet av en funktion

Det genomsnittliga värdet $f_{\text{medel}}$ för en funktion $f(x)$ över ett intervall $[a, b]$, givet av $f_{\text{medel}} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx$.

Udda funktion (integrering)

En funktion vars integral över ett symmetriskt intervall kring origo alltid är noll: $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0$.

Jämn funktion (integrering)

En funktion vars integral över ett symmetriskt intervall kan beräknas som det dubbla av halva intervallet: $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2 \int_0^a f(x)\,dx$.

Variabelsubstitution

En integrationsmetod där en ny variabel införs, $t = g(x)$, med differentialen $dt = g'(x)\,dx$, varvid eventuella integrationsgränser transformeras i enlighet med substitutionen.

Partiell integration (PI)

En integrationsmetod baserad på produktregeln för derivering, uttryckt som $\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx$ eller $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

Partialbråksuppdelning (PBUD)

En algebraisk metod för att skriva om en rationell funktion $\frac{Q(x)}{P(x)}$ (där grad $Q <$ grad $P$) som en summa av enklare termer utifrån nämnarens faktorisering.

Konvergent integral

En generaliserad integral som har ett väldefinierat och ändligt reellt gränsvärde i $\mathbb{R}$.

Divergent integral

En generaliserad integral som saknar ett ändligt reellt gränsvärde.

Cirkelskivor (Skivmetoden)

En metod för att beräkna rotationsvolymen av en kropp kring en axel med formeln $V = \pi \int_a^b (f(x))^2\,dx$.

Cylindriska skal

En metod för att beräkna volymen av en rotationskropp med hjälp av formeln $V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$.

Båglängd

Längden av en kurva parametriserad av en vektorfunktion $\mathbf{r}(t)$ på intervallet $[a, b]$, given av formeln $L = \int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt = \int ds$.