Logique des Énoncés et Objets Mathématiques

Cartes mémoires de vocabulaire portant sur les objets mathématiques, le langage formel, les notations et la logique des énoncés.

Type Nombre

Le seul type simple d'objet mathématique, ne dépendant d'aucun autre type. Il regroupe les entiers naturels, les entiers relatifs, les rationnels, les réels et les complexes.

Type Ensemble

Un type complexe d'objet mathématique qui représente une collection d'objets (nombres, fonctions, ou autres ensembles), tels que $\nu$, $\nu$, $\nu$, $\nu$ ou $\nu$.

Type Fonction (ou Application)

Objet mathématique défini sur un ensemble de départ (domaine de définition) et à valeurs dans un ensemble d'arrivée, noté $f : X \rightarrow Y$.

Type Tuple (ou Uplet)

Suite finie d'objets mathématiques paramétrée par le type des objets contenus, comme les couples ($2$-uplets) ou les triplets ($3$-uplets) de $\nu^3$.

Type Suite

Cas particulier de fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels $\nu$, qui à chaque entier $n$ associe une valeur $x_n$.

Relation homogène

Relation mathématique dans laquelle les deux objets comparés sont obligatoirement de même type (ex. égalité entre deux nombres, deux vecteurs ou deux ensembles).

Relation hétérogène

Relation mathématique comparant des objets de types différents, la plus connue étant la relation d'appartenance $\nu$.

Surcharge des notations

Utilisation d'un même symbole pour désigner des objets mathématiques différents selon le contexte (ex. le symbole $0$ désignant l'entier zéro, le vecteur nul de $\nu^3$ ou la fonction nulle).

Variable

Nom (en général une unique lettre) donné à un objet mathématique, qui doit être introduit avant son utilisation et possède une portée limitée.

Portée d'une variable

Portion de texte mathématique au sein de laquelle une variable est définie et peut être utilisée.

Quantificateur universel $\nu$

Symbole mathématique signifiant « pour tout », servant à introduire un objet quelconque ou arbitraire pour exprimer une propriété valable pour tous les objets considérés.

Quantificateur existentiel $\nu$

Symbole mathématique signifiant « il existe », utilisé pour introduire le nom d'un objet dont on affirme l'existence.

Indice de sommation

Paramètre d'une somme $\nu_{i \nu I} x_i$ pour lequel on explicite l'ensemble des valeurs possibles; il s'agit d'une variable dont la portée est limitée à l'expression sous le signe somme.

Définition (en mathématiques)

Énoncé ni vrai ni faux qui sert à introduire de nouvelles notions et de nouvelles notations en décrivant leurs propriétés et utilisations.

Théorème

Énoncé mathématique dont on sait qu'il est vrai car on en connaît au moins une démonstration.

Conjecture

Énoncé mathématique que l'on pense être vrai mais dont on ne connaît encore aucune démonstration.

Proposition

Énoncé mathématique prouvé ne méritant pas le titre de théorème, soit parce que la démonstration est très facile, soit parce qu'il est peu utile en pratique.

Lemme

Résultat mathématique intermédiaire qui sert directement dans la démonstration d'un théorème.

Corollaire

Théorème qui se déduit immédiatement et facilement d'un autre théorème.

Implication

Construction logique de la forme « si … alors … », exprimant en général une propriété générale valable pour toute une classe d'objets.

Réciproque d'une implication

Nouvel énoncé formé en inversant l'hypothèse et la conclusion d'une implication initiale (la réciproque de « si $A$ alors $B$ » est « si $B$ alors $A$ »).

Contraposée d'une implication

Énoncé équivalent à l'implication de départ, construit en prenant la négation de la conclusion comme hypothèse et la négation de l'hypothèse comme conclusion (« si non $B$ alors non $A$ »).

Énoncé d'existence et d'unicité $\nu!$

Énoncé affirmant l'existence d'au moins un objet vérifiant une propriété, tout en précisant que si deux objets la vérifient, ils sont nécessairement égaux.

Équivalence mathématique

Construction logique de la forme « … si et seulement si … », qui combine deux implications réciproques (« si $p$ alors $q$ » et « si $q$ alors $p$ »).