Trigonometrie

Was ist ein Winkel im Gradmaß?

Das ist die Winkelangabe, die du aus der Schule kennst: Man misst den Winkel in der Kreismitte in Grad. Ein ganzer Kreis hat 360°.

Was ist ein Winkel im Bogenmaß?

Man misst den Winkel über die Länge des Bogens auf einem Kreis mit Radius 1. Je größer der Winkel, desto länger der Bogen. Ein ganzer Kreis hat die Bogenlänge 2π.

Sind Gradmaß und Bogenmaß verschiedene Winkel?

Nein. Es ist derselbe Winkel, nur in einer anderen Einheit, so wie Meter und Zentimeter dieselbe Länge beschreiben.

Warum nimmt man beim Bogenmaß einen Kreis mit Radius 1?

Bei einem größeren Kreis wäre der Bogen länger, obwohl der Winkel gleich bleibt. Mit Radius 1 gehört zu jedem Winkel genau eine Bogenlänge.

Warum entsprechen 360° genau 2π?

Der Umfang eines Kreises ist U = 2 · π · r. Beim Radius 1 ist der Umfang also 2π. Der ganze Kreis sind 360°, also gilt 360° = 2π.

Welche eine Gleichung musst du dir für das Umrechnen merken?

180° = π. Alles andere kannst du daraus herleiten.

Wie viel Grad sind π/2 im Bogenmaß?

90°, denn π/2 ist die Hälfte von π, und die Hälfte von 180° ist 90°.

Wie viel ist 60° im Bogenmaß?

π/3, denn 60° passt 3-mal in 180°. Also nimmt man ein Drittel von π.

Wie viel ist 45° im Bogenmaß?

π/4, denn 45° passt 4-mal in 180°. Also nimmt man ein Viertel von π.

Wie viel ist 30° im Bogenmaß?

π/6, denn 30° passt 6-mal in 180°. Also nimmt man ein Sechstel von π.

Wie viel ist 270° im Bogenmaß?

3π/2, denn 270° sind drei Viertel eines ganzen Kreises, und drei Viertel von 2π sind 3π/2.

Wie rechnest du einen Winkel mit π im Kopf in Grad um?

Du ersetzt einfach π durch 180° und rechnest aus. Beispiel: π/6 wird zu 180°/6 = 30°.

Wie rechnest du 2π/3 in Grad um?

π durch 180° ersetzen: 2 · 180° : 3 = 360° : 3 = 120°.

Wie rechnest du einen Winkel von Grad ins Bogenmaß um?

Du nimmst den Winkel mal π/180 und kürzt dann. Beispiel: 120° · π/180 = 120π/180 = 2π/3.

Wie rechnest du einen Winkel vom Bogenmaß in Grad um?

Du nimmst den Winkel mal 180/π. Beispiel: 2π/5 · 180/π. Das π kürzt sich weg, übrig bleibt 2 · 180 : 5 = 72°.

Wie merkst du dir, ob du mit π/180 oder mit 180/π malnehmen musst?

Was du haben willst, steht oben im Bruch. Willst du Grad haben, steht 180 oben. Willst du Bogenmaß haben, steht π oben.

Wie kannst du die Umrechnung als Dreisatz schreiben?

π entspricht 180°. Dann entspricht 1 genau 180° : π ≈ 57,3°. Und 2 entspricht 2 · 57,3° ≈ 114,6°.

Wie viel Grad ist 1 im Bogenmaß?

Ungefähr 57,3°. Rechnung: 1 · 180 : π. Das ist etwas weniger als 60°.

Wie viel Grad sind 20π im Bogenmaß?

20π · 180/π = 20 · 180 = 3600°. Das sind 10 volle Umdrehungen.

Wie rechnest du 1200° ins Bogenmaß um?

1200 · π/180. Dann oben und unten durch 60 kürzen: 1200 : 60 = 20 und 180 : 60 = 3. Ergebnis: 20π/3 ≈ 20,94.

Was bedeutet Kürzen bei einem Bruch?

Man teilt Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Die Zahlen werden kleiner, aber der Wert bleibt gleich.

Warum ändert Kürzen den Wert eines Bruchs nicht?

Oben und unten durch dieselbe Zahl teilen ist dasselbe wie durch 1 teilen. Beispiel: 2/4 Pizza ist genauso viel wie 1/2 Pizza.

Wie kürzt du am schnellsten?

Du suchst die größte Zahl, durch die oben und unten teilbar sind. Beispiel: 90/180 direkt durch 90 teilen ergibt sofort 1/2.

Wann darfst du nicht kürzen?

Bei Plus und Minus. Kürzen geht nur, wenn oben und unten nur mit Mal und Geteilt verbunden sind.

Mit welcher Formel berechnest du die Bogenlänge bei einem beliebigen Radius?

b = r · α. Dabei ist b die Bogenlänge, r der Radius und α der Winkel. Wichtig: α muss im Bogenmaß sein!

Warum ist die Bogenlänge r · α?

Bei Radius 1 ist die Bogenlänge genau der Winkel im Bogenmaß. Ist der Radius doppelt so groß, ist auch der Bogen doppelt so lang. Deshalb mal r.

Wie berechnest du den Winkel, wenn Radius und Bogenlänge gegeben sind?

Du stellst b = r · α nach α um: α = b / r. Das Ergebnis ist im Bogenmaß, danach rechnest du es in Grad um.

Wie berechnest du den Radius, wenn Bogenlänge und Winkel in Grad gegeben sind?

1) Winkel ins Bogenmaß umrechnen. 2) Formel umstellen: r = b / α. Beispiel: b = 1 und α = 30° = π/6, also r = 1 : π/6 = 6/π ≈ 1,91.

Wie teilst du durch einen Bruch?

Du nimmst mit dem Kehrwert mal, also den Bruch umgedreht. Beispiel: 1 : π/6 = 1 · 6/π = 6/π.

Wie machst du bei einer Rechnung die Probe?

Du setzt dein Ergebnis in die Ausgangsformel ein und prüfst, ob das Gegebene herauskommt. Beispiel: 1,91 · π/6 ≈ 1, also stimmt r = 1,91.

Welchen Taschenrechner-Modus brauchst du bei sin 30°?

Den Grad-Modus (beim Casio: 360), weil ein °-Zeichen dabeisteht.

Welchen Taschenrechner-Modus brauchst du bei sin 10 oder sin(π/3)?

Den Bogenmaß-Modus (beim Casio: 2π), weil kein °-Zeichen dabeisteht. Steht π im Winkel, ist es fast immer Bogenmaß.

Wie prüfst du schnell, in welchem Modus dein Taschenrechner ist?

Tippe sin(90) ein. Kommt 1 heraus, bist du im Grad-Modus. Kommt ungefähr 0,894 heraus, bist du im Bogenmaß-Modus.

Warum ist sin 10° ungefähr 0,174, aber sin 10 ungefähr −0,544?

sin 10° ist ein kleiner Winkel. sin 10 ohne ° ist Bogenmaß, und 10 im Bogenmaß sind etwa 573°. Das liegt nach einer Umdrehung bei 213°, also unten im Kreis, und dort ist sin negativ.

Was bedeutet die Schreibweise sin² x?

Das ist (sin x)². Du rechnest zuerst den Sinus aus und nimmst das Ergebnis dann hoch 2.

Was ist der Unterschied zwischen sin² x und sin x²?

Bei sin² x rechnest du erst sin, dann hoch 2. Bei sin x² rechnest du erst x hoch 2 und nimmst davon den Sinus. Es kommt etwas anderes heraus.

Wie ist der Sinus im rechtwinkligen Dreieck definiert?

sin = Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse. Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber, die Hypotenuse ist die längste Seite.

Wie ist der Kosinus im rechtwinkligen Dreieck definiert?

cos = Ankathete geteilt durch Hypotenuse. Die Ankathete liegt direkt am Winkel an.

Wie ist der Tangens im rechtwinkligen Dreieck definiert?

tan = Gegenkathete geteilt durch Ankathete. Die Hypotenuse kommt beim Tangens nicht vor.

Wie kannst du den Tangens mit Sinus und Kosinus ausdrücken?

tan = sin / cos. Denn (Gegenkathete/Hypotenuse) geteilt durch (Ankathete/Hypotenuse) ergibt Gegenkathete/Ankathete, die Hypotenuse kürzt sich weg.

Was besagt der Satz sin² + cos² = 1?

Für jeden Winkel gilt: (sin α)² + (cos α)² = 1. Das ist der Satz des Pythagoras im Einheitskreis. Man braucht ihn, um sin in cos umzuwandeln oder umgekehrt.

Warum gilt sin² + cos² = 1?

Im Einheitskreis bilden cos (waagerecht) und sin (senkrecht) die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Hypotenuse ist der Zeiger mit Länge 1. Pythagoras: cos² + sin² = 1².

Was ist der Einheitskreis?

Ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Ein Zeiger startet rechts bei 0° und dreht sich gegen den Uhrzeigersinn.

Was gibt der Kosinus im Einheitskreis an?

Die x-Koordinate der Zeigerspitze, also wie weit die Spitze nach rechts oder links zeigt.

Was gibt der Sinus im Einheitskreis an?

Die y-Koordinate der Zeigerspitze, also wie weit die Spitze nach oben oder unten zeigt.

Was ist der Unterschied zwischen dem Winkel und dem Punkt im Einheitskreis?

Der Winkel (z. B. π/2) sagt, wie weit du den Zeiger drehst. Der Punkt (z. B. (0 | 1)) sagt, wo die Zeigerspitze landet. Das sind zwei verschiedene Dinge.

Welchen Wert haben cos 0° und sin 0°?

Der Zeiger zeigt genau nach rechts, die Spitze liegt bei (1 | 0). Also cos 0° = 1 und sin 0° = 0.

Welchen Wert haben cos 90° und sin 90°?

Der Zeiger zeigt genau nach oben, die Spitze liegt bei (0 | 1). Also cos 90° = 0 und sin 90° = 1.

Welchen Wert haben cos 180° und sin 180°?

Der Zeiger zeigt genau nach links, die Spitze liegt bei (−1 | 0). Also cos 180° = −1 und sin 180° = 0.

Welchen Wert haben cos 270° und sin 270°?

Der Zeiger zeigt genau nach unten, die Spitze liegt bei (0 | −1). Also cos 270° = 0 und sin 270° = −1.

Wie erkennst du, ob der Kosinus positiv oder negativ ist?

Schau, ob der Zeiger nach rechts oder links zeigt. Rechts ist cos positiv, links ist cos negativ.

Wie erkennst du, ob der Sinus positiv oder negativ ist?

Schau, ob der Zeiger nach oben oder unten zeigt. Oben ist sin positiv, unten ist sin negativ.

Welche Vorzeichen haben sin und cos im Viertel I (0° bis 90°)?

Der Zeiger zeigt nach rechts oben. Also ist cos positiv und sin positiv.

Welche Vorzeichen haben sin und cos im Viertel II (90° bis 180°)?

Der Zeiger zeigt nach links oben. Also ist cos negativ und sin positiv.

Welche Vorzeichen haben sin und cos im Viertel III (180° bis 270°)?

Der Zeiger zeigt nach links unten. Also ist cos negativ und sin negativ.

Welche Vorzeichen haben sin und cos im Viertel IV (270° bis 360°)?

Der Zeiger zeigt nach rechts unten. Also ist cos positiv und sin negativ.

Ist cos 120° positiv oder negativ?

Negativ. 120° liegt im Viertel II, der Zeiger zeigt nach links, und links ist cos negativ.

Ist sin 200° positiv oder negativ?

Negativ. 200° liegt im Viertel III, der Zeiger zeigt nach unten, und unten ist sin negativ.

Mit welcher Merkregel bestimmst du den Sinus von 0°, 30°, 45°, 60° und 90°?

sin α = ½ · √n. Für die Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90° setzt du nacheinander n = 0, 1, 2, 3, 4 ein.

Mit welcher Merkregel bestimmst du den Kosinus von 0°, 30°, 45°, 60° und 90°?

Genauso wie beim Sinus mit ½ · √n, nur läuft n rückwärts: Für 0°, 30°, 45°, 60°, 90° ist n = 4, 3, 2, 1, 0.

Wie rechnest du ½ · √n aus?

Erst die Wurzel aus n ziehen, dann das Ergebnis halbieren. Beispiel: ½ · √4 = ½ · 2 = 1.

Was ist sin 0°?

0 (Merkregel: n = 0, also ½ · √0 = 0)

Was ist sin 30°?

½ (Merkregel: n = 1, also ½ · √1 = ½)

Was ist sin 45°?

½√2, also ungefähr 0,707 (Merkregel: n = 2)

Was ist sin 60°?

½√3, also ungefähr 0,866 (Merkregel: n = 3)

Was ist sin 90°?

1 (Merkregel: n = 4, also ½ · √4 = ½ · 2 = 1)

Was ist cos 0°?

1 (cos-Merkregel: n = 4)

Was ist cos 30°?

½√3, also ungefähr 0,866 (cos-Merkregel: n = 3)

Was ist cos 45°?

½√2, also ungefähr 0,707 (cos-Merkregel: n = 2)

Was ist cos 60°?

½ (cos-Merkregel: n = 1)

Was ist cos 90°?

0 (cos-Merkregel: n = 0)

Was geht bei sin und cos hinein und was kommt heraus?

Hinein geht ein Winkel. Heraus kommt eine Zahl zwischen −1 und 1. Das Ergebnis ist also nie ein Winkel.

Wozu brauchst du die Merkregel ½√n überhaupt?

Um sin und cos ohne Taschenrechner exakt anzugeben, und um später bei Gleichungen rückwärts zu erkennen, welcher Winkel zu einem Wert gehört (z. B. √3/2 gehört zu 60°).

Was ist der Bezugswinkel?

Der Abstand des Zeigers zur x-Achse. Er liegt immer zwischen 0° und 90°, deshalb kannst du ihn in der Tabelle nachschauen.

Wie berechnest du den Bezugswinkel im Viertel II?

180° minus den Winkel. Beispiel: Bei 150° ist der Bezugswinkel 180° − 150° = 30°.

Wie berechnest du den Bezugswinkel im Viertel III?

Den Winkel minus 180°. Beispiel: Bei 240° ist der Bezugswinkel 240° − 180° = 60°.

Wie berechnest du den Bezugswinkel im Viertel IV?

360° minus den Winkel. Beispiel: Bei 330° ist der Bezugswinkel 360° − 330° = 30°.

Welcher Fehler passiert oft beim Bezugswinkel?

Man misst zur y-Achse statt zur x-Achse. Beispiel falsch: 270° − 240° = 30°. Richtig: 240° − 180° = 60°. Gemessen wird immer zu 0°, 180° oder 360°.

Was passiert mit sin und cos, wenn du 360° dazuzählst oder abziehst?

Nichts. Nach einer vollen Umdrehung steht der Zeiger wieder an derselben Stelle, also bleibt der Wert gleich.

Wie bestimmst du sin oder cos eines beliebigen Winkels ohne Taschenrechner?

1) In Grad umrechnen. 2) Über 360°? Dann 360° abziehen. 3) Viertel bestimmen, das gibt das Vorzeichen. 4) Bezugswinkel ausrechnen. 5) Wert in der Tabelle nachschauen und Vorzeichen davorsetzen.

Wie berechnest du sin(π/4) ohne Taschenrechner?

π/4 = 45°. Das liegt im Viertel I, also positiv. Tabelle: n = 2. Ergebnis: ½√2.

Wie berechnest du cos(π/3) ohne Taschenrechner?

π/3 = 60°. Das liegt im Viertel I, also positiv. cos-Tabelle: n = 1. Ergebnis: ½.

Wie berechnest du sin(5π/6) ohne Taschenrechner?

5π/6 = 150°. Viertel II, oben, also sin positiv. Bezugswinkel: 180° − 150° = 30°. sin 30° = ½. Ergebnis: ½.

Wie berechnest du cos(4π/3) ohne Taschenrechner?

4π/3 = 240°. Viertel III, links, also cos negativ. Bezugswinkel: 240° − 180° = 60°. cos 60° = ½. Ergebnis: −½.

Wie berechnest du sin(8π/3) ohne Taschenrechner?

8π/3 = 480°. Minus 360° ergibt 120°. Viertel II, oben, also sin positiv. Bezugswinkel: 180° − 120° = 60°. sin 60° = ½√3. Ergebnis: ½√3.

Wie berechnest du cos(23π/6) ohne Taschenrechner?

23π/6 = 690°. Minus 360° ergibt 330°. Viertel IV, rechts, also cos positiv. Bezugswinkel: 360° − 330° = 30°. cos 30° = ½√3. Ergebnis: ½√3.

Wie gehst du bei einem negativen Winkel vor, z. B. cos(−60°)?

Du zählst 360° dazu, bis der Winkel positiv ist: −60° + 360° = 300°. Dann wie gewohnt: Viertel IV, cos positiv, Bezugswinkel 60°. Ergebnis: ½.

Wie entsteht aus dem Einheitskreis die Sinuswelle?

Der Zeiger dreht sich immer weiter, und man zeichnet für jeden Winkel die Höhe der Spitze (den Sinus) auf. So entsteht eine Welle, die zwischen −1 und 1 hin und her schwingt.

Was ist die Periode einer Funktion?

Das kleinste Stück, nach dem sich der Graph genau wiederholt. Bei sin x und cos x ist die Periode 360°, also 2π.

Warum sind sin und cos periodisch?

Nach einer vollen Umdrehung (360°) steht der Zeiger wieder an derselben Stelle. Deshalb wiederholen sich alle Werte.

Wie viele Lösungen hat die Gleichung sin x = 0,5 innerhalb einer Periode?

Zwei. Die Welle erreicht die Höhe 0,5 einmal beim Hochgehen (bei 30°) und einmal beim Runtergehen (bei 150°).

Wie viele Lösungen hat die Gleichung sin x = 0,5 insgesamt?

Unendlich viele. In jeder Periode gibt es 2 Lösungen, und die Welle wiederholt sich unendlich oft.

Ist bei sin x = 0,5 jede reelle Zahl eine Lösung?

Nein. Es gibt zwar unendlich viele Lösungen, aber nur an bestimmten Stellen, die sich wiederholen. Die Lösungsmenge ist also nicht ganz ℝ.

Was ist die Amplitude einer Welle?

Der größte Ausschlag nach oben bzw. unten, gemessen von der Mittellinie. Bei sin x ist die Amplitude 1.

Was passiert mit der Periode, wenn man eine Welle zusammendrückt (staucht)?

Die Periode wird kürzer, die Welle wiederholt sich schneller. Man sagt auch: Die Frequenz wird höher.

Was bedeutet die Schreibweise f(g(x))?

Man setzt eine Funktion in eine andere ein. Erst rechnet man g(x) aus, dann setzt man dieses Ergebnis in f ein. Das nennt man Verkettung.

Welche Funktion rechnest du bei f(g(x)) zuerst aus?

Die innere Funktion, also g. Man rechnet immer von innen nach außen, wie bei zwei Maschinen hintereinander.

Wie berechnest du f(g(3)) für f(x) = x² und g(x) = 2x?

1) Innen: g(3) = 2 · 3 = 6. 2) Außen: f(6) = 6² = 36. Ergebnis: 36.

Wie berechnest du g(f(3)) für f(x) = x² und g(x) = 2x?

1) Innen: f(3) = 3² = 9. 2) Außen: g(9) = 2 · 9 = 18. Ergebnis: 18.

Ist f(g(x)) dasselbe wie g(f(x))?

Nein. Die Reihenfolge ist wichtig. Im Beispiel mit f(x) = x² und g(x) = 2x ergibt f(g(3)) = 36, aber g(f(3)) = 18.