Lezione 1: Spazio, tempo e descrizione del moto lineare

Flashcard di ripasso per la Lezione 1: grandezze fisiche, unità di misura, cinematica unidimensionale, velocità, accelerazione e moti fondamentali (uniforme, uniformemente accelerato, esponenziale smorzato, armonico).

Che cos'è la "definizione operativa" di una grandezza fisica?

È la sequenza di operazioni da eseguire (misure, calcoli da grandezze già note o una loro combinazione) per ottenere la valutazione quantitativa, ossia il valore numerico, della grandezza in questione.

Quali sono i tre elementi necessari per specificare in modo completo la valutazione quantitativa di una grandezza fisica?

(i) Il valore numerico stimato della grandezza, (ii) l'incertezza (o "errore") e (iii) l'unità di misura utilizzata (o il riferimento complessivo).

Qual è la differenza fondamentale tra errore di sensibilità ed errore di precisione?

L'errore di sensibilità deriva dalle tacche dello strumento di misura (distanza tra tacche consecutive o mezza distanza), mentre l'errore di precisione deriva dalle fluttuazioni del valore in misure ripetute e si stima mediante metodi statistici.

Come si definisce e si calcola l'incertezza relativa (o percentuale) di una misura data da $X \pm \Delta X$?

L'incertezza relativa è data dal rapporto $\frac{\Delta X}{|X|}$; se espressa in forma percentuale, è pari a $\frac{\Delta X}{|X|} \times 100\%$.

Perché la notazione scientifica (ad esempio $2.8 \times 10^2$) è preferibile a scritture come $280$ quando si riportano misure fisiche?

Perché consente di mostrare chiaramente solo le cifre significative a sinistra della potenza di 10, evitando l'ambiguità su quanti zeri a destra siano realmente significativi o servano solo a specificare l'ordine di grandezza.

Come viene definito il metro nel Sistema Internazionale moderno?

Come la distanza percorsa da un impulso luminoso che si propaga nel vuoto in un tempo pari alla frazione $\frac{1}{299'792'458}$ di un secondo.

Qual è la definizione moderna del secondo nel Sistema Internazionale?

È definito esattamente come il tempo necessario per compiere $9'192'631'770$ oscillazioni di una particolare vibrazione elettronica dell'atomo di cesio (isotopo 133).

Qual è la distinzione tra grandezze fisiche fondamentali e grandezze derivate nel SI?

Le grandezze fondamentali (7 nel SI, tra cui lunghezza, tempo e massa) hanno unità definite a partire da fenomeni naturali o manufatti stabili; le grandezze derivate sono ricavate operativamente mediante calcoli (prodotti, potenze o rapporti) a partire dalle grandezze fondamentali.

Che cosa caratterizza una grandezza fisica adimensionale in termini di analisi dimensionale?

Ha una formula dimensionale del tipo $[L^0][T^0][M^0]$, con esponenti nulli (un esempio fisico nel SI è la misura degli angoli in radianti, derivata dal rapporto di due lunghezze).

Quali elementi costituiscono il sistema di riferimento per la descrizione del moto lineare?

Un'unità di misura di lunghezza, un'origine $O$ prefissata lungo la traiettoria (asse rettilineo o asse curvilineo) e un'orientazione convenzionale (verso positivo) per distinguere le posizioni ai due lati dell'origine.

A quali condizioni un oggetto reale può essere schematizzato come un "punto materiale"?

Quando la sua estensione fisica è molto piccola rispetto a tutte le altre lunghezze in gioco e rispetto alla tolleranza minima con cui è necessario descriverne il movimento.

Che cos'è la legge oraria del moto?

È la relazione funzionale $x(t)$ che associa a ciascun istante di tempo $t$ (variabile indipendente) la corrispondente posizione $x$ (variabile dipendente) dell'oggetto lungo il suo percorso.

Qual è la formula e la rappresentazione grafica dello stato di quiete?

La formula è $x(t) = x_0$ (costante); nel diagramma orario è rappresentato da un tratto di retta orizzontale.

Qual è l'espressione analitica del moto uniforme e che significato grafico ha la costante $v$?

L'espressione è $x(t) = v t + x_0$; nel diagramma orario il moto corrisponde a una retta inclinata e la costante $v$ rappresenta il suo coefficiente angolare (pendenza), nonché la velocità del corpo.

Qual è la differenza fondamentale tra lo spostamento $\Delta x$ e lo spazio percorso $\Delta s$ tra due istanti $t_1$ e $t_2$?

Lo spostamento $\Delta x = x_2 - x_1$ dipende solo dai punti estremi ed è dotato di segno, mentre lo spazio percorso $\Delta s$ è sempre positivo e somma tutte le distanze percorse, risultando maggiore di $|\Delta x|$ se l'oggetto inverte il verso del moto.

Come è definita la velocità media $v_m$ in un intervallo temporale $(t_1, t_2)$?

È definita dal rapporto tra lo spostamento compiuto e la durata dell'intervallo: $v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$.

Come è definita analiticamente la velocità istantanea $v(t)$?

È il limite del rapporto incrementale per un intervallo di tempo infinitesimo: $v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{dx}{dt} = \dot{x}$, cioè la derivata temporale prima della legge oraria.

Cosa indicano le rette tangenti evidenziate in rosso nei punti specificati di questo diagramma orario?

Indicano la velocità istantanea corrispondente alla pendenza (coefficiente angolare) della tangente: è positiva a $t_1$ e $t_4$, negativa a $t_2$ e nulla a $t_3$.

Quale fenomeno cinematico si verifica nei punti di massimo o di minimo relativo di un diagramma orario $x(t)$?

La tangente è orizzontale, dunque la velocità istantanea si annulla ($v = 0$) e il corpo inverte la direzione del proprio moto.

Quale formula permette di calcolare la legge oraria $x(t)$ conoscendo la velocità istantanea $v(t)$ e la posizione iniziale $x_0 = x(t_0)$?

$x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t v(t')\,dt'$.

Come è definita l'accelerazione istantanea $a(t)$ e quale unità di misura ha nel SI?

È la derivata prima della velocità e derivata seconda della posizione rispetto al tempo: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = \ddot{x}$; nel SI si misura in metri al secondo quadro ($\text{m/s}^2$).

Che cosa rappresentano gli archi di cerchio tracciati nei punti indicati di questo diagramma orario?

Rappresentano la curvatura locale (cerchi osculatori) associata graficamente all'accelerazione istantanea: concavità verso l'alto indica accelerazione positiva ($t_2$), concavità verso il basso accelerazione negativa ($t_1$).

Quali sono le equazioni di velocità e posizione per un moto uniformemente accelerato con partenza a $t=0$?

$v(t) = v_0 + a t$ e $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$, con accelerazione $a$ costante.

Quali equazioni descrivono il moto verticale di caduta libera sotto l'azione della gravità, orientando l'asse verticale verso l'alto?

Con $a = -g$ (dove $g \approx 9.8\,\text{m/s}^2$): $v(t) = v_0 - gt$ e $x(t) = x_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$.

In questo diagramma orario a tratti, che tipo di moto si ha nei quattro intervalli e dove compare una discontinuità di velocità?

Tra $0$ e $t_1$ moto uniforme ($v > 0$); tra $t_1$ e $t_2$ uniformemente decelerato ($a < 0$); tra $t_2$ e $t_3$ quiete ($v = 0$); per $t > t_3$ uniforme ($v < 0$). A $t_3$ la posizione è continua ma la velocità presenta una brusca discontinuità.

Qual è l'equazione differenziale che caratterizza il moto esponenziale smorzato e qual è la sua legge oraria generale?

L'equazione differenziale è $\dot{v} = -\gamma v$ (oppure $\ddot{x} = -\gamma \dot{x}$ con $\gamma > 0$) e la legge oraria è $x(t) = A e^{-\gamma t} + B$.

In questo diagramma orario di moto esponenziale smorzato, che significato hanno i valori $x_0$ e $B$?

$x_0 = A + B$ è la posizione iniziale all'istante $t=0$, mentre $B$ è la posizione asintotica a cui tende l'oggetto per $t \to \infty$.

Come è definito il tempo caratteristico di smorzamento $\tau$ nel moto esponenziale smorzato?

È il tempo necessario affinché la velocità si riduca di un fattore pari al numero di Nepero $e$, dato da $\tau = \frac{1}{\gamma}$ (mentre per un generico fattore $F$ vale $\tau_F = \frac{\ln(F)}{\gamma}$).

Qual è la legge oraria fondamentale del moto armonico e come si legano periodo $T$, frequenza ciclica $f$ e pulsazione $\omega$?

La legge oraria è $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$; le relazioni tra parametri sono $f = \frac{\omega}{2\pi}$ (in Hertz, $\text{Hz}$) e $T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}$.

Qual è l'equazione differenziale del moto armonico che lega l'accelerazione alla posizione?

$\ddot{x} = -\omega^2 x$ (ossia $a(t) = -\omega^2 x(t)$), la cui soluzione generale è data dal moto sinusoidale con ampiezza $A$ e fase iniziale $\varphi$.

Come sono definite la posizione relativa $x_{1,2}(t)$ e la velocità relativa $v_{1,2}(t)$ tra due corpi?

Posizione relativa: $x_{1,2}(t) = x_1(t) - x_2(t)$; velocità relativa: $v_{1,2}(t) = v_1(t) - v_2(t)$.