Développements Limités Usuels

Cartes de vocabulaire et formules de référence pour les développements limités usuels au voisinage de 0.

Développement limité de $\frac{1}{1-x}$ (série géométrique)

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{n} x^k + o(x^n) = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + o(x^n)$$

Développement limité de $e^x$ (fonction souche)

$$e^x = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} + o(x^n) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$

Développement limité de $\sin(x)$

$$\sin(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2n+2}) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots + o(x^{2n+2})$$

Développement limité de $(1+x)^\alpha$ (formule généralisatrice)

$(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{n} \binom{\alpha}{k} x^k + o(x^n) = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!} x^n + o(x^n)$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$

Développement limité de $\tan(x)$

$\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + o(x^7)$ (obtenu par quotient $\sin(x)/\cos(x)$ ou à apprendre par cœur à l'ordre 3)