Relaciones y Funciones - Definiciones Fundamentales

Fichas de vocabulario que cubren las definiciones matemáticas formales de tipos de relaciones, clases de equivalencia, propiedades de funciones, composición e invertibilidad según el Capítulo 1.

Relación (de un conjunto $A$ a un conjunto $B$)

Subconjunto arbitrario del producto cartesiano $A \times B$. Si $(a, b) \in R$, se dice que $a$ está relacionado con $b$ bajo la relación $R$ y se escribe $a\,R\,b$.

Relación vacía (Empty relation)

Relación $R$ en un conjunto $A$ en la cual ningún elemento de $A$ está relacionado con ningún elemento de $A$, es decir, $R = \phi \subset A \times A$.

Relación universal (Universal relation)

Relación $R$ en un conjunto $A$ en la cual cada elemento de $A$ está relacionado con todos los elementos de $A$, es decir, $R = A \times A$.

Relaciones triviales (Trivial relations)

Término que describe conjuntamente a la relación vacía ($R = \phi$) y a la relación universal ($R = A \times A$) en un conjunto dado.

Relación reflexiva (Reflexive relation)

Relación $R$ en un conjunto $A$ en la que $(a, a) \in R$ para todo elemento $a \in A$.

Relación simétrica (Symmetric relation)

Relación $R$ en un conjunto $A$ que cumple que si $(a_1, a_2) \in R$, entonces necesariamente $(a_2, a_1) \in R$, para todos los elementos $a_1, a_2 \in A$.

Relación transitiva (Transitive relation)

Relación $R$ en un conjunto $A$ que cumple que si $(a_1, a_2) \in R$ y $(a_2, a_3) \in R$, entonces $(a_1, a_3) \in R$, para todos los elementos $a_1, a_2, a_3 \in A$.

Relación de equivalencia (Equivalence relation)

Relación $R$ definida en un conjunto $A$ que es simultáneamente reflexiva, simétrica y transitiva.

Clase de equivalencia (Equivalence class)

Subconjunto $[a]$ de un conjunto $X$ asociado a una relación de equivalencia $R$, compuesto por todos los elementos de $X$ que están relacionados con el elemento $a$.

Partición por relación de equivalencia

División de un conjunto $X$ en subconjuntos mutuamente disjuntos $A_i$ cuyas uniones equivalen a $X$, donde los elementos dentro de cada $A_i$ están relacionados entre sí y ningún elemento de $A_i$ está relacionado con ningún elemento de $A_j$ ($i \neq j$).

Función uno a uno o inyectiva (One-one / Injective)

Función $f: X \rightarrow Y$ en la que elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas en el codominio; es decir, para todo $x_1, x_2 \in X$, si $f(x_1) = f(x_2)$, entonces $x_1 = x_2$.

Función muchos a uno (Many-one)

Función $f: X \rightarrow Y$ que no es inyectiva, debido a que dos o más elementos distintos de $X$ comparten la misma imagen en $Y$.

Función sobre o sobreyectiva (Onto / Surjective)

Función $f: X \rightarrow Y$ en la cual cada elemento del codominio $Y$ es imagen de al menos un elemento del dominio $X$ bajo $f$; es decir, para cada $y \in Y$, existe un $x \in X$ tal que $f(x) = y$, lo que equivale a que el rango de $f$ sea igual a $Y$.

Función biyectiva (Bijective)

Función $f: X \rightarrow Y$ que es al mismo tiempo uno a uno (inyectiva) y sobre (sobreyectiva).

Propiedad característica de un conjunto finito respecto a funciones

Propiedad que establece que para cualquier conjunto finito $X$, una función $f: X \rightarrow X$ es inyectiva si y solo si es sobreyectiva (hecho que no necesariamente se cumple en conjuntos infinitos).

Composición de funciones ($g \circ f$)

Operación entre dos funciones $f: A \rightarrow B$ y $g: B \rightarrow C$ que produce una nueva función $g \circ f: A \rightarrow C$, definida formalmente como $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ para todo $x \in A$.

Función invertible (Invertible function)

Función $f: X \rightarrow Y$ para la cual existe otra función $g: Y \rightarrow X$ tal que $g \circ f = I_X$ y $f \circ g = I_Y$, lo cual ocurre si y solo si $f$ es biyectiva.

Función inversa ($f^{-1}$)

La función $g: Y \rightarrow X$ asociada a una función invertible $f: X \rightarrow Y$ que cumple las identidades $g \circ f = I_X$ y $f \circ g = I_Y$.

Función identidad ($I_X$)

Función $I_X: X \rightarrow X$ que asigna a cada elemento del conjunto $X$ exactamente el mismo elemento, es decir, $I_X(x) = x$ para todo $x \in X$.

Lejeune Dirichlet (1805-1859)

Matemático que introdujo una definición rigurosa del concepto de función, la cual sirvió de base para la definición conjuntista abstracta desarrollada posteriormente con la teoría de conjuntos de Georg Cantor.