Complements d'algebre lineaire

Quelle est la convention sur le corps K dans ce chapitre 

K désigne ℝ ou ℂ (en général, un sous-corps de ℂ). 

Donner la définition d’un sous-espace vectoriel F d’un K-espace vectoriel E. 

F ⊂ E est un sous-espace vectoriel de E si :

(1) F est non vide ;

(2) ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ F, α·x + y ∈ F.

Quels sont les sous-espaces vectoriels triviaux de E ? Que dire de Kₙ[X] dans K[X] ? 

{0} et E sont les sous-espaces triviaux de E. Pour tout n ∈ ℕ, Kₙ[X] est un sous-espace vectoriel de K[X]. 

Soit F₁, …, F_p des sous-espaces vectoriels de E. Comment définit-on la somme F₁ + … + F_p ? 

F₁ + … + F_p = {x₁ + … + x_p : (x₁, …, x_p) ∈ F₁ × … × F_p}.

Que peut-on dire de la somme F₁ + … + F_p de sous-espaces vectoriels de E ? 

C’est un sous-espace vectoriel de E, et c’est le sous-espace engendré par F₁ ∪ … ∪ F_p. 

Définition : quand dit-on que F₁, …, F_p sont en somme directe ? 

Quand tout x ∈ F₁ + … + F_p s’écrit de façon unique sous la forme x = x₁ + … + x_p avec x_k ∈ F_k pour tout k ∈ ⟦1, p⟧. 

Quelle notation utilise-t-on pour une somme directe ?

On note F₁ ⊕ … ⊕ F_p (ou ⊕ₖ₌₁ᵖ F_k) au lieu de F₁ + … + F_p.

Quand dit-on que F₁, …, F_p sont des sous-espaces supplémentaires de E ?

Quand F₁ ⊕ … ⊕ F_p = E, c’est-à-dire quand tout x ∈ E s’écrit de façon unique x₁ + … + x_p avec x_k ∈ F_k pour tout k.

Caractérisation de la somme directe par l’unicité de la décomposition du vecteur nul.

F₁, …, F_p sont en somme directe ⟺ pour tout (x₁, …, x_p) ∈ F₁ × … × F_p, (x₁ + … + x_p = 0 ⟹ x₁ = … = x_p = 0). 

Caractérisation de la somme directe de deux sous-espaces F et G. 

F et G sont en somme directe ⟺ F ∩ G = {0}.

Soit σ : F₁ × … × F_p → E, (x₁, …, x_p) ↦ x₁ + … + x_p. À quelle condition sur σ les F_k sont-ils en somme directe

F₁, …, F_p sont en somme directe ⟺ σ est injective. 

Soit σ : F₁ × … × F_p → E, (x₁, …, x_p) ↦ x₁ + … + x_p. À quelle condition sur σ les F_k sont-ils supplémentaires ? 

F₁, …, F_p sont supplémentaires ⟺ σ est bijective. 

Pour p ≥ 3, « Fᵢ ∩ Fⱼ = {0} pour tous i ≠ j » implique-t-il que la somme F₁ + … + F_p est directe ? 

Non. Cette condition est nécessaire mais pas suffisante dès que p ≥ 3 (contre-exemple dans ℝ² avec trois droites distinctes). 

Pour p ≥ 3, « F₁ ∩ … ∩ F_p = {0} » implique-t-il que la somme F₁ + … + F_p est directe ? 

Non. Cette condition ne suffit pas (contre-exemple dans ℝ² avec trois droites distinctes).

Critère de somme directe : donner la condition sur les intersections Fᵢ ∩ Σⱼ≠ᵢ Fⱼ

La somme ⊕₁≤ᵢ≤ₚ Fᵢ est directe ⟺ pour tout i ∈ ⟦1, p⟧, Fᵢ ∩ (Σ_{1≤j≤p, j≠i} Fⱼ) = {0}. 

En dimension finie, que dire de dim(F) et dim(E) pour un sous-espace F de E ? 

dim(F) ≤ dim(E). 

En dimension finie, que dire de F si dim(F) = dim(E) ? 

dim(F) = dim(E) ⟺ F = E. 

Qu’appelle-t-on droite vectorielle de E ? 

Un sous-espace vectoriel F de E avec dim(F) = 1.

Qu’appelle-t-on plan vectoriel de E ? 

Un sous-espace vectoriel F de E avec dim(F) = 2. 

Qu’appelle-t-on hyperplan de E (dimension finie) ? 

Un sous-espace vectoriel F de E avec dim(F) = dim(E) − 1. 

Énoncer la formule de Grassmann

Si F₁ et F₂ sont de dimension finie, alors F₁ + F₂ aussi et dim(F₁ + F₂) = dim(F₁) + dim(F₂) − dim(F₁ ∩ F₂). 

Quelle inégalité découle de la formule de Grassmann ? 

dim(F₁ + F₂) ≤ dim(F₁) + dim(F₂), car dim(F₁ ∩ F₂) ≥ 0. 

Théorème (dimension d’une somme) : quelle est l’inégalité pour F₁, …, F_p de dimension finie ? 

Σₖ₌₁ᵖ Fₖ est de dimension finie et dim(Σₖ₌₁ᵖ Fₖ) ≤ Σₖ₌₁ᵖ dim Fₖ.

Dans l’inégalité dim(Σ Fₖ) ≤ Σ dim Fₖ, quand a-t-on égalité

Il y a égalité si et seulement si F₁, …, F_p sont en somme directe. 

Corollaire : caractériser E = ⊕ₖ₌₁ᵖ Fₖ à l’aide des dimensions (F_k de dimension finie). 

E = ⊕ₖ Fₖ ⟺ (E = Σₖ Fₖ et dim(Σₖ Fₖ) = Σₖ dim(Fₖ)). 

Théorème de la base adaptée : énoncé. 

Si E = ⊕ₖ₌₁ᵖ Fₖ et si, pour chaque k, Bₖ est une base de Fₖ, alors la concaténation B de B₁, …, B_p est une base de E. 

Qu’appelle-t-on base adaptée à une décomposition E = ⊕ Fₖ ? Quelle notation utilise-t-on ? 

C’est une base de E obtenue par concaténation de bases B₁, …, B_p des Fₖ. On la note B₁ ⊕ … ⊕ B_p. 

Qu’est-ce que la concaténation des familles (e₁, …, eₙ) et (f₁, …, f_p) ? Peut-on la noter avec ∪ ? 

C’est la famille (e₁, …, eₙ, f₁, …, f_p). Il est incorrect de la noter (e₁, …, eₙ) ∪ (f₁, …, f_p), car il ne s’agit pas d’une réunion d’ensembles. 

Si E = ⊕{i∈I} Eᵢ, quels sous-espaces sont supplémentaires pour tout i ∈ I ? 

Eᵢ et ⊕{j∈I∖{i}} Eⱼ sont supplémentaires. 

Définition du projecteur pₖ associé à une somme directe ⊕₁≤ᵢ≤ₚ Fᵢ

pₖ : ⊕ᵢ Fᵢ → E, x = Σᵢ xᵢ ↦ xₖ (avec xᵢ ∈ Fᵢ). C’est une application linéaire, appelée projecteur associé à la décomposition

Quelles relations vérifie la famille des projecteurs (pᵢ) associés à E = ⊕{i∈I} Eᵢ ? 

Σ{i∈I} pᵢ = Id_E et pour tout (i, j) ∈ I², i ≠ j ⟹ pᵢ ∘ pⱼ = 0. 

Quels sont l’image et le noyau du projecteur pᵢ associé à E = ⊕ₖ Eₖ ? 

Im pᵢ = Eᵢ et ker pᵢ = ⊕_{k≠i} Eₖ.

Réciproque de la propriété des projecteurs : si p₁, …, p_r ∈ L(E) vérifient Σ pᵢ = Id_E et pᵢ ∘ pⱼ = 0 pour i ≠ j, que peut-on conclure ? 

Chaque pᵢ est un projecteur (pᵢ² = pᵢ), E = ⊕ᵢ Im(pᵢ), et (pᵢ) est exactement la famille des projecteurs associés à cette décomposition. 

Caractérisation d’une application linéaire par ses restrictions : énoncé. 

Si E = ⊕{i∈I} Eᵢ et si uᵢ ∈ L(Eᵢ, F) pour tout i, alors il existe une unique u ∈ L(E, F) telle que u|{Eᵢ} = uᵢ pour tout i ∈ I. 

Quelle est l’expression de l’application u de la proposition précédente en fonction des uᵢ et des projecteurs pᵢ ? 

u = Σ_{i∈I} uᵢ ∘ pᵢ. 

Pourquoi l’écriture uᵢ ∘ pᵢ est-elle abusive, et quelle est l’écriture rigoureuse ? 

pᵢ a pour espace d’arrivée E alors que l’espace de départ de uᵢ est Eᵢ. En toute rigueur, on écrit uᵢ ∘ p̃ᵢ avec p̃ᵢ : E → Eᵢ, x ↦ pᵢ(x). 

Cas p = 2 : énoncé de la caractérisation d’une application linéaire par ses restrictions

Si E = E₁ ⊕ E₂, u₁ ∈ L(E₁, F) et u₂ ∈ L(E₂, F), il existe une unique u ∈ L(E, F) telle que u|{E₁} = u₁ et u|{E₂} = u₂. 

Soit B = (eᵢ){i∈I} une base de E et (I₁, …, I_p) un recouvrement disjoint de I. Quelle décomposition de E obtient-on ? 

En posant Eₖ = Vect(eᵢ){i∈Iₖ}, on a E = ⊕ₖ₌₁ᵖ Eₖ. 

Quel est le lien entre cette proposition (décomposition à partir d’une base) et le théorème de la base adaptée ? 

Ce sont deux sens réciproques. De E = ⊕ Eᵢ et des bases Bᵢ, on obtient par concaténation une base de E adaptée. Inversement, d’une base de E et d’une partition de ses indices, on obtient une décomposition en somme directe. 

Définition d’une matrice M ∈ Mₙ,ₘ(K) écrite par blocs. 

C’est la donnée de (α₁, …, α_p) ∈ (ℕ*)^p avec Σαᵢ = n, de (β₁, …, β_q) ∈ (ℕ*)^q avec Σβⱼ = m, et de blocs Mᵢ,ⱼ ∈ M_{αᵢ,βⱼ}(K) pour tout (i, j) ∈ ⟦1, p⟧ × ⟦1, q⟧, tels que M = (Mᵢ,ⱼ) (p lignes de blocs, q colonnes de blocs). 

Comment s’écrit la transposée d’une matrice A = (Aᵢ,ⱼ) écrite par blocs ? 

Aᵀ est la matrice par blocs dont le bloc en position (j, i) est (Aᵢ,ⱼ)ᵀ. On transpose le tableau de blocs et chaque bloc. 

Quelles conditions pour effectuer une combinaison linéaire par blocs de A et B ? 

A et B ont même taille et sont écrites suivant le même découpage en blocs, de sorte que Aᵢ,ⱼ et Bᵢ,ⱼ ont la même taille. 

Formule de la combinaison linéaire par blocs

λA + µB a pour blocs (λAᵢ,ⱼ + µBᵢ,ⱼ). 

Quelle condition de compatibilité pour calculer un produit AB par blocs ? 

A a autant de blocs-colonnes que B a de blocs-lignes, et la largeur des blocs A_{i,k} est égale à la hauteur des blocs B_{k,j}, de sorte que chaque produit A_{i,k}B_{k,j} soit défini. 

Formule du produit par blocs. 

AB = (C_{i,j}) avec C_{i,j} = Σₖ₌₁ᵖ A_{i,k} B_{k,j}. 

Quelle précaution prendre dans le produit par blocs ? 

Le produit matriciel n’étant pas commutatif, il faut respecter l’ordre A_{i,k}B_{k,j} dans chaque produit. 

Au programme, quelle démonstration concernant les matrices par blocs n’est pas exigible ? 

La démonstration de la formule du produit par blocs. 

Définition d’une matrice triangulaire supérieure par blocs. 

Matrice carrée A = (Aᵢ,ⱼ) par blocs dont les blocs diagonaux A₁,₁, …, A_{s,s} sont carrés et dont tous les blocs situés sous la diagonale sont nuls. 

Définition d’une matrice triangulaire inférieure par blocs

Définition analogue : les blocs diagonaux sont carrés et tous les blocs situés au-dessus de la diagonale sont nuls. 

Définition d’une matrice diagonale par blocs. Quelle notation ? 

Matrice carrée A par blocs dont les blocs diagonaux A₁,₁, …, A_{s,s} sont carrés et dont tous les blocs non diagonaux sont nuls. On la note diag(A₁,₁, …, A_{s,s}). 

Que dire du produit de deux matrices triangulaires supérieures par blocs (blocs diagonaux de tailles compatibles)

C’est encore une matrice triangulaire supérieure par blocs. Le résultat est le même pour les triangulaires inférieures par blocs. 

Quels sont les blocs diagonaux du produit de deux matrices triangulaires supérieures par blocs de blocs diagonaux A₁, …, Aₙ et B₁, …, Bₙ ? 

Ce sont A₁B₁, …, AₙBₙ. Le produit s’écrit (A₁B₁ (⋆) ; … ; (0) AₙBₙ). 

Produit de deux matrices diagonales par blocs. 

diag(A₁, …, Aₙ) · diag(B₁, …, Bₙ) = diag(A₁B₁, …, AₙBₙ) (blocs de tailles compatibles). 

Que signifient les notations (⋆) et (0) dans l’écriture d’une matrice triangulaire par blocs ? 

Seuls les blocs diagonaux comptent : (⋆) désigne des blocs quelconques au-dessus de la diagonale, (0) des blocs nuls au-dessous. 

Définition de la transvection par blocs C₁ ← C₁ + C₂T. 

Pour M = (A₁ B₁ ; A₂ B₂), c’est le produit M · (I 0 ; T I) = (A₁ + B₁T B₁ ; A₂ + B₂T B₂) (quand il est défini). 

Transvection par blocs C₂ ← C₂ + C₁T : formule. 

(A₁ B₁ ; A₂ B₂) · (I T ; 0 I) = (A₁ B₁ + A₁T ; A₂ B₂ + A₂T).

Transvection par blocs L₁ ← L₁ + TL₂ : formule. 

(I T ; 0 I) · (A₁ A₂ ; B₁ B₂) = (A₁ + TB₁ A₂ + TB₂ ; B₁ B₂).

Transvection par blocs L₂ ← L₂ + TL₁ : formule

(I 0 ; T I) · (A₁ A₂ ; B₁ B₂) = (A₁ A₂ ; B₁ + TA₁ B₂ + TA₂). 

Comment une transvection par blocs se code-t-elle avec des transvections classiques ? 

Si A₁, A₂ ont n colonnes, B₁, B₂ en ont p et T = (t_{j,i}) ∈ M_{p,n}(K), C₁ ← C₁ + C₂T s’obtient par les transvections commutantes Cᵢ ← Cᵢ + t_{j,i}C_{j+n}, pour (i, j) ∈ ⟦1, n⟧ × ⟦1, p⟧. 

Que dire des matrices (I T ; 0 I) et (I 0 ; T I) ? 

Elles sont triangulaires à diagonale de 1, donc inversibles et de déterminant 1. 

Quelles quantités une transvection par blocs conserve-t-elle ? 

Le rang et le déterminant. 

Quel est le déterminant d’une matrice triangulaire par blocs (au programme) ? 

C’est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux (carrés). 

(Résultat de cours) Rang d’une matrice diagonale par blocs. 

rg(A 0 ; 0 B) = rg A + rg B. Plus généralement, le rang d’une matrice diagonale par blocs est la somme des rangs de ses blocs diagonaux. 

(Résultat de cours) Quand une matrice diagonale par blocs est-elle inversible ? Quel est son inverse ? 

Elle est inversible ⟺ tous ses blocs diagonaux le sont. Alors A⁻¹ est diagonale par blocs, de blocs diagonaux A₁⁻¹, …, A_r⁻¹. 

Attention : la formule rg = somme des rangs des blocs diagonaux reste-t-elle valable pour une matrice triangulaire par blocs ? 

Non. Par exemple (0 Iₙ ; 0 0) n’est pas de rang nul alors que ses blocs diagonaux sont nuls. 

(Résultat de cours) Si A ∈ GLₙ(K), quel est le rang de (A B ; 0 C) ? Que dire si C est inversible, ou si la matrice est triangulaire inférieure par blocs ? 

rg(A B ; 0 C) = rg A + rg C. Le résultat subsiste, avec une preuve similaire, si c’est C qui est inversible, ou si la matrice est triangulaire inférieure par blocs. 

(Résultat de cours) Inversibilité de M = (λ B ; 0 A), avec A ∈ Mₙ(K), B ∈ M₁,ₙ(K) et λ ∈ K ? 

det M = λ det A, donc M est inversible ⟺ λ ≠ 0 et A inversible. 

(Résultat de cours) Effet de la multiplication à droite par (0 Iₙ ; Iₙ 0) sur (A B ; C D) ? Quelles conséquences pour le rang et le déterminant ? 

(A B ; C D)(0 Iₙ ; Iₙ 0) = (B A ; D C). Les deux matrices ont même rang, et det(B A ; D C) = (−1)ⁿ det(A B ; C D). 

Interprétation géométrique des blocs : cadre de la proposition de caractérisation d’un bloc. 

Soit u ∈ L(E), E = ⊕ᵢ₌₁ᵖ Eᵢ = ⊕ⱼ₌₁^q Fⱼ, de projecteurs associés (pᵢ) et (qⱼ). Soit B une base adaptée à (Eᵢ) et B′ une base adaptée à (Fⱼ) (de bases extraites Bᵢ, B′ⱼ). On écrit Mat_{B,B′}(u) par blocs : p colonnes de blocs (départ, les Eᵢ) et q lignes de blocs (arrivée, les Fⱼ). 

Dans ce cadre, que représente le bloc M_{j,i} de Mat_{B,B′}(u) ? 

M_{j,i} = Mat_{Bᵢ,B′ⱼ}(qⱼ ∘ u|_{Eᵢ}), la matrice de la restriction de u à Eᵢ, projetée sur Fⱼ parallèlement aux autres Fₖ. 

Reformulation de la remarque sur le bloc M_{j,i} à l’aide des projecteurs

M_{j,i} est la matrice, dans les bases Bᵢ et B′ⱼ, de la restriction à Eᵢ, à valeurs dans Fⱼ, de l’application qⱼ ∘ u ∘ pᵢ. 

Définition d’un sous-espace stable par u ∈ L(E)

F sous-espace de E est stable par u ⟺ u(F) ⊂ F, c’est-à-dire ∀x ∈ F, u(x) ∈ F. 

Définition de l’endomorphisme induit par u sur un sous-espace F stable. 

C’est u_F : F → F, x ↦ u(x), élément de L(F). 

Quelle différence entre l’endomorphisme induit u_F et la restriction u|_F ? 

u|_F ∈ L(F, E) est définie pour tout sous-espace F, sans hypothèse. u_F ∈ L(F) n’a de sens que si F est stable par u. 

Quels sous-espaces sont toujours stables par u ∈ L(E)

{0_E}, E, Ker u et Im u. 

Si u, v ∈ L(E) commutent, que dire de Ker v et Im v vis-à-vis de u ? 

Ker v et Im v sont stables par u. 

Si x ≠ 0 vérifie u(x) = λx, que dire de Vect(x) ? 

La droite Vect(x) est stable par u. 

Soit p le projecteur sur F parallèlement à G (E = F ⊕ G). Quels sous-espaces sont stables ? Quels sont les induits ? 

F et G sont stables par p, avec p_F = Id_F et p_G = 0. 

Soit s la symétrie par rapport à F parallèlement à G (E = F ⊕ G). Quels sous-espaces sont stables ? Quels sont les induits

F et G sont stables par s, avec s_F = Id_F et s_G = −Id_G. 

Stabilité par somme et par intersection : énoncé

Si (Fᵢ){i∈I} est une famille de sous-espaces tous stables par u, alors Σ{i∈I} Fᵢ et ⋂_{i∈I} Fᵢ sont stables par u. 

Caractérisation matricielle de la stabilité d’un sous-espace F de dimension r (E de dimension finie n)

Soit B une base de E adaptée à F (ses r premiers vecteurs forment une base de F). F est stable par u ⟺ Mat_B(u) = (A B ; 0 C) avec A ∈ Mᵣ(K). 

Dans la caractérisation précédente, que représente le bloc A ? 

A est la matrice de l’endomorphisme induit u_F dans la base de F extraite de B. 

Caractérisation matricielle d’une décomposition E = F₁ ⊕ … ⊕ F_r en sous-espaces stables

Soit B une base adaptée à la décomposition. F₁, …, F_r sont tous stables par u ⟺ Mat_B(u) = diag(A₁, …, A_r). 

Dans cette caractérisation, que représente chaque bloc Aₖ ? 

Aₖ ∈ M_{dim Fₖ}(K) est la matrice de l’endomorphisme induit u_{Fₖ} dans la base de Fₖ extraite de B. 

Quel lien la dernière proposition éclaire-t-elle (en termes de réduction) ? 

Le lien entre la réduction d’un endomorphisme et l’existence d’une décomposition de E en somme directe de sous-espaces stables de petite dimension (typiquement des droites, dans le cas de la diagonalisation). 

(Résultat de cours) Pour un projecteur u (u² = u), quelle est la décomposition de E et la matrice de u dans une base adaptée ? 

E = Ker u ⊕ Im u, deux sous-espaces stables (u_{Ker u} = 0 et u_{Im u} = Id_{Im u}). Dans une base adaptée, Mat_B(u) = diag(0, I_r) avec r = rg u. 

(Résultat de cours) Matrices d’un projecteur p sur F parallèlement à G et de la symétrie s associée, dans une base adaptée à E = F ⊕ G (dim E = n, dim F = r). 

Mat_B(p) = (Iᵣ 0 ; 0 0) et Mat_B(s) = (Iᵣ 0 ; 0 −I_{n−r}).