Electronique chapitre 4 : Oscillateur

Oscillateur

Système capable de fournir un signal de sortie borné, évoluant de façon périodique entre un minimum et un maximum, en l'absence de signal d'entrée. $\quad$ Sa structure est nécessairement celle d'un système bouclé.

Types d'oscillateurs

Quasi-sinusoïdal : génère un signal quasiment sinusoïdal. $\quad$ À relaxation : génère un signal périodique non sinusoïdal, avec un élément actif en régime non linéaire (saturé).

Équation d'un circuit oscillant

$a\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2}+b\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+cu=0\iff\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\omega_0^2u=0$ $\quad$ $\omega_0$ pulsation propre en $\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$, $Q$ facteur de qualité (sans unité).

Régime pseudo-périodique

Faible amortissement : $\Delta<0$, soit $Q>\dfrac12$. $\quad$ $u(t)=A\,e^{-\frac{\omega_0}{2Q}t}\cos(\omega_pt+\varphi)$ avec $\omega_p=\omega_0\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}$ (pseudo-pulsation).

Démarrage d'oscillations : condition sur les coefficients

Il faut $b<0$ (critère de Descartes : système instable), donc une résistance équivalente négative, liée à un apport d'énergie. $\quad$ Un oscillateur quasi-sinusoïdal comporte nécessairement un élément actif (A.L.I.) pour compenser les pertes.

Structure d'un oscillateur quasi-sinusoïdal

Système bouclé : bloc amplificateur (élément actif, compense les pertes) de fonction de transfert $\underline A=\dfrac{\underline s}{\underline u}$ $\quad$ et bloc filtre (sélectionne la fréquence) de fonction de transfert $\underline B=\dfrac{\underline u}{\underline s}$.

Filtre passe-bande du bloc filtre

$\underline B=\dfrac{H_0}{1+jQ\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega}\right)}$

Amplificateur de gain $G$ + filtre passe-bande

$\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\,(1-H_0G)\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\omega_0^2u=0$ $\quad$ $G=G_c=\dfrac1{H_0}$ : signal sinusoïdal de pulsation $\omega_0$ (oscillateur harmonique). $\quad$ $G>G_c$ : coefficient du premier ordre négatif, système instable, les oscillations peuvent démarrer.

Condition de Barkhausen

Gain de boucle égal à 1 à la pulsation d'oscillation : $\underline A(j\omega_{osc})\,\underline B(j\omega_{osc})=1$ $\quad$ Équivaut à $\mathrm{Im}(\underline A\underline B)=0$ et $\mathrm{Re}(\underline A\underline B)=1$ $\quad$ ou à $\arg(\underline A\underline B)=0$ et $|\underline A\underline B|=1$.

Barkhausen : rôle de chaque condition

Partie imaginaire (ou argument) : fournit la pulsation d'oscillation $\omega_{osc}$. $\quad$ Partie réelle (ou module), écrite en $\omega_{osc}$ : donne la condition sur le gain de l'amplificateur.

Condition de démarrage des oscillations

$|\underline A(j\omega_{osc})\,\underline B(j\omega_{osc})|>1$ $\quad$ $\omega_{osc}$ est fixée par la condition sur l'argument ; l'inégalité porte uniquement sur le module.

Origine et amplitude des oscillations

Démarrage à partir d'un signal primitif : bruit électronique (agitation thermique) ou tension de décalage de l'A.L.I. $\quad$ L'amplitude croît jusqu'à la saturation de l'élément actif (non linéaire) : le signal n'est plus sinusoïdal.

Oscillateur à résistance négative

Bloc A : A.L.I. idéal avec $R_1$, $R_2$, $R_3$, qui se comporte comme une résistance négative $u=-R_N\,i$ avec $R_N=\dfrac{R_1R_3}{R_2}$. $\quad$ Bloc B : $R$, $L$, $C$ en série. $\quad$ Oscillations de pulsation $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ si $R_N=R$ ; démarrage si $R_N>R$.

Oscillateur à pont de Wien : blocs

Bloc A : amplificateur non-inverseur $\underline A=1+\dfrac{R_2}{R_1}$ $\quad$ Bloc B : filtre de Wien $\underline B=\dfrac{\underline u_e}{\underline u_s}=\dfrac{1}{3+j\left(RC\omega-\dfrac{1}{RC\omega}\right)}$

Oscillateur à pont de Wien : conditions

Barkhausen : $\omega_{osc}=\dfrac{1}{RC}$ et $\underline B(j\omega_{osc})=\dfrac13$ $\quad$ Gain critique $G_c=3$, soit $R_2=2R_1$ pour entretenir. $\quad$ Démarrage : $1+\dfrac{R_2}{R_1}>3$, soit $R_2>2R_1$.

Oscillateur à relaxation

Oscillateur générant un signal périodique non sinusoïdal ; un élément actif fonctionne en régime non linéaire (saturé). $\quad$ Deux blocs bouclés : un comparateur à hystérésis et un intégrateur.

Générateur de signaux (relaxation à deux A.L.I.)

A.L.I. 1 : intégrateur ($R$, $C$) : $u_2(t)=-\dfrac{1}{RC}\int u_1\,\mathrm{d}t$ $\quad$ A.L.I. 2 : comparateur à hystérésis non-inverseur : $V_B=-\dfrac{R_1}{R_2}V_{\mathrm{sat}}$ et $V_H=+\dfrac{R_1}{R_2}V_{\mathrm{sat}}$ $\quad$ $u_1$ : signal carré $\pm V_{\mathrm{sat}}$, $u_2$ : signal triangulaire. $\quad$ Période : $T=\dfrac{4RC\,R_1}{R_2}$

Oscillateur astable

Comparateur à hystérésis inverseur ($R_1$, $R_2$, A.L.I.) et circuit relaxant ($R$, $C$) dont la tension d'entrée est $u_e$ (aux bornes de $C$). $\quad$ Sortie à $+V_{\mathrm{sat}}$ : $C$ se charge jusqu'à $u_e=V_b$ ; la sortie passe à $-V_{\mathrm{sat}}$ : $C$ se décharge jusqu'à $V_h$ ; la sortie repasse à $+V_{\mathrm{sat}}$ : une période. $\quad$ $T=2RC\ln\left(1+\dfrac{2R_1}{R_2}\right)$