Statistique Descriptive - Concepts, Paramètres et Indices

Fiches de vocabulaire couvrant l'ensemble du cours de statistique descriptive : concepts fondamentaux, mesures de tendance centrale, mesures de dispersion, concentration (Lorenz et Gini) et calcul des indices simples et synthétiques.

Population

Ensemble de référence composé de l'ensemble des unités observées ou unités statistiques faisant l'objet de l'étude. Sa taille est généralement notée $N$.

Unités statistiques

Aussi appelées individus ou observations, ce sont les entités abstraites (personnes, animaux, objets, etc.) qui composent la population étudiée.

Recensement

Opération statistique qui consiste à recueillir des informations auprès de toutes les unités statistiques appartenant à une population déterminée, pendant une période de référence donnée.

Sondage

Méthode d'enquête statistique consistant à recueillir des informations auprès d'une partie de la population, sélectionnée selon une méthode déterminée, afin d'étudier ses caractéristiques et d'en généraliser éventuellement les résultats.

Échantillon

Sous-ensemble d'unités statistiques sélectionnées au sein d'une population mère pour recueillir des informations sur les caractéristiques de celle-ci. Sa taille est généralement notée $n$.

Population cible

Ensemble des unités statistiques auxquelles les résultats et conclusions de l'enquête s'appliquent.

Statistique inférentielle

Branche de la statistique qui permet de faire le lien entre un échantillon et une population, informant sur les caractéristiques inconnues de la population à partir des données observées sur l'échantillon.

Caractère qualitatif

Caractère ou variable statistique lié à une observation ne faisant pas l'objet d'une mesure chiffrée (exemples : sexe, couleur des cheveux, état matrimonial).

Caractère quantitatif discret

Caractère mesurable ne pouvant prendre que des valeurs numériques isolées, généralement entières.

Caractère quantitatif continu

Caractère mesurable pouvant prendre n'importe quelle valeur numérique à l'intérieur d'un intervalle donné (exemples : âge, taille, poids).

Modalités

Différentes rubriques ou états possibles associés à un caractère qualitatif. Elles doivent former une partition, c'est-à-dire être exhaustives et disjointes.

Nomenclature

Ensemble structuré des modalités d'un caractère, chacune étant précédée d'un numéro de code.

Fréquence relative ($f_i$)

Quotient de l'effectif $n_i$ d'une modalité par l'effectif total $n$, donné par la formule $f_i = \frac{n_i}{n}$. Sa somme sur l'ensemble des modalités vaut $1$ (ou $100\%$).

Fréquences cumulées croissantes ($F_i$)

Cumul successif des fréquences relatives associées aux valeurs strictement inférieures à une modalité donnée, défini par $F_1 = f_1$ et $F_i = \sum_{j=1}^{i} f_j$. Elles ne se calculent que pour des variables quantitatives.

Centre de classe ($x_i$)

Milieu d'un intervalle de classe $[b_i, b_{i+1}[$, calculé par la relation $x_i = \frac{b_i + b_{i+1}}{2}$.

Amplitude d'une classe ($a_i$)

Différence entre la borne supérieure et la borne inférieure d'un intervalle de classe $[b_i, b_{i+1}[$, donnée par $a_i = b_{i+1} - b_i$.

Densité d'une classe

Rapport de l'effectif $n_i$ d'une classe à son amplitude $a_i$, donné par $\frac{n_i}{a_i}$.

Moyenne arithmétique ($\bar{x}$)

Somme de toutes les valeurs pondérées par leurs effectifs, divisée par l'effectif total : $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{p} n_i x_i}{\sum_{i=1}^{p} n_i}$.

Moyenne géométrique ($G$)

Racine $n$-ième du produit des valeurs observées positives : $G = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{\frac{1}{n}}$, ou sous forme logarithmique : $\ln(G) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(x_i)$.

Moyenne harmonique ($H$)

Inverse de la moyenne arithmétique des inverses des valeurs observées : $H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} = \frac{\sum_{i=1}^{p} n_i}{\sum_{i=1}^{p} \frac{n_i}{x_i}}$.

Moyenne quadratique ($Q$)

Racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des valeurs observées : $Q = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2}$.

Médiane ($M_e$ ou $Q_{50}$)

Valeur qui partage la série statistique ordonnée en deux sous-ensembles d'effectifs égaux, telle que $50\%$ des observations lui sont inférieures et $50\%$ lui sont supérieures.

Quantiles d'ordre $k$

Caractéristiques de position qui partagent une série statistique ordonnée en $k$ parties égales d'effectifs identiques.

Quartiles ($Q_1, Q_2, Q_3$)

Trois valeurs qui partagent la distribution ordonnée en quatre parties égales : $Q_1$ laisse $25\%$ des valeurs en-dessous, $Q_2$ est la médiane, et $Q_3$ laisse $75\%$ des valeurs en-dessous.

Mode ($M_o$)

Valeur de la variable qui présente l'effectif le plus élevé dans une série discrète, ou classe (classe modale) de plus forte densité dans une série continue.

Variance ($V(X)$)

Moyenne arithmétique des carrés des écarts des valeurs observées à leur moyenne arithmétique : $V(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2$.

Écart-type ($\sigma$)

Racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Il s'exprime dans la même unité de mesure que la variable.

Coefficient de variation ($CV$)

Rapport sans dimension de l'écart-type à la moyenne arithmétique : $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$. Il permet de comparer la dispersion de distributions exprimées dans des unités différentes.

Étendue ($w$)

Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d'une série statistique : $w = x_{\max} - x_{\min}$.

Médiale ($M_{le}$)

Médiane calculée par rapport aux valeurs globales cumulées croissantes ($n_i x_i$) ; elle correspond à la valeur du caractère qui partage la masse totale de la grandeur en deux moitiés égales.

Courbe de Lorenz

Courbe de concentration inscrite dans un carré unitaire reliant les fréquences cumulées croissantes des individus ($F_i$ en abscisse) aux valeurs globales relatives cumulées ($Q_i$ en ordonnée) pour visualiser les inégalités de répartition.

Indice de Gini

Mesure synthétique de l'inégalité associée à la courbe de Lorenz, égale au rapport de l'aire de concentration $A$ à l'aire du triangle sous la bissectrice d'égalité parfaite : $G = \frac{A}{A+B} = 2A = 1 - 2B$, avec $0 \le G \le 1$.

Indice élémentaire

Rapport sans dimension entre la valeur d'une variable à une période courante $t$ et sa valeur à une période de base $0$ : $i(x)_{t/0} = \frac{x_t}{x_0}$, ou exprimé en base 100 par $I(x)_{t/0} = \frac{x_t}{x_0} \times 100$.

Coefficient budgétaire ($c_{j,0}$)

Part représentée par la valeur (prix $p$ multiplié par quantité $q$) d'un produit $P_j$ relativement à la valeur globale de tous les produits au cours d'une période donnée, telle que $\sum c_{j,0} = 1$.

Indice des prix de Laspeyres ($L(p)_{t/0}$)

Moyenne arithmétique des indices élémentaires de prix pondérés par les coefficients budgétaires de la période de base : $L(p)_{t/0} = \frac{\sum p_{j,t} q_{j,0}}{\sum p_{j,0} q_{j,0}} \times 100$.

Indice des prix de Paasche ($P(p)_{t/0}$)

Moyenne harmonique pondérée par les dépenses de la période courante, calculée par la formule : $P(p)_{t/0} = \frac{\sum p_{j,t} q_{j,t}}{\sum p_{j,0} q_{j,t}} \times 100$.

Indice de Fisher ($F_{t/0}$)

Indice synthétique défini comme la moyenne géométrique des indices de Laspeyres et de Paasche : $F_{t/0} = \sqrt{L_{t/0} \times P_{t/0}}$.