Repaso General de Matemáticas: Números Enteros, Divisibilidad, Fracciones y Decimales

Tarjetas didácticas de repaso elaboradas a partir de los apuntes de clase sobre números enteros, criterios y problemas de divisibilidad (m.c.m. y m.c.d.), operaciones y problemas con fracciones, y números decimales.

¿Qué es el valor absoluto de un número entero?

Es la distancia que hay desde ese número hasta el $0$. Por ejemplo, $|-4| = 4$ y $|3| = 3$.

¿Cómo se define el opuesto de un número entero, $Op(a)$?

Es el mismo número con signo distinto. Por ejemplo, $Op(-4) = 4$, $Op(7) = -7$ y $Op(-200) = 200$.

¿Cuáles son las reglas para sumar o restar números enteros según sus signos?

Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se mantiene dicho signo. Si tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y el resultado lleva el signo del número con mayor valor.

¿Cuál es la jerarquía para resolver operaciones combinadas con números enteros?

1) Potencias y raíces / paréntesis; 2) Multiplicación y división; 3) Suma y resta de izquierda a derecha.

Un depósito vacío recibe $120\,\text{L/min}$ de un grifo y pierde por grietas $10\,\text{L/min}$. ¿Qué operación combinada expresa los litros tras una hora y cuál es el resultado?

La operación combinada es $(120 - 10) \times 60$, dando como resultado $110 \times 60 = 6600\,\text{L}$.

Elena tiene $70\,\text{€}$ en el banco, ingresa $15\,\text{€}$ y más tarde saca $32\,\text{€}$. ¿Cuál es su saldo actual?

Su saldo actual es $70 + 15 - 32 = 85 - 32 = 53\,\text{€}$.

Una piscina tiene $1250\,\text{L}$ de agua y se vacía a razón de $250\,\text{L/h}$. ¿Cuántas horas tardará en vaciarse?

Tardará $5\,\text{horas}$, ya que $1250 : 250 = 5$.

Si un refrigerador a $20^\circ\text{C}$ baja a razón de $5^\circ\text{C}$ por minuto, ¿en cuántos minutos alcanzará los $-10^\circ\text{C}$?

Alcanzará esa temperatura en $6\,\text{minutos}$, calculado mediante $(20 - (-10)) : 5 = 30 : 5 = 6$.

Un examen se califica sobre $1000\,\text{puntos}$ y cada falta resta $25\,\text{puntos}$. Si un estudiante cometió $7\,\text{faltas}$, ¿cuánto bajará su nota y cuál será su calificación final?

Su nota bajará $175\,\text{puntos}$ ($25 \times 7 = 175$) y la calificación final será $825\,\text{puntos}$ ($1000 - 175 = 825$).

¿Cuáles son los criterios de divisibilidad entre $2$, $3$ y $4$?

Entre $2$: cuando termina en cifra par. Entre $3$: cuando la suma de sus cifras es múltiplo de $3$. Entre $4$: cuando sus dos últimas cifras son $00$ o un múltiplo de $4$.

¿Cuáles son los criterios de divisibilidad entre $5$, $6$, $9$ y $10$?

Entre $5$: cuando termina en $0$ o $5$. Entre $6$: cuando es divisible a la vez entre $2$ y entre $3$. Entre $9$: cuando la suma de sus cifras es múltiplo de $9$. Entre $10$: cuando termina en $0$.

¿Cuáles son los cuatro pasos del criterio de divisibilidad entre $11$?

1º Sumar las cifras en posición par; 2º sumar las cifras en posición impar; 3º restar ambos resultados; 4º comprobar que la diferencia obtenida sea $0$ o múltiplo de $11$.

¿Qué diferencia a un número primo de un número compuesto?

Un número primo solo es divisible entre $1$ y entre sí mismo (como $2, 3, 5, 7, 11$), mientras que un número compuesto tiene más de dos divisores (como $4, 6, 8, 9, 10$).

¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo ($\text{m.c.m.}$) a partir de la descomposición factorial?

Se toman los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

¿Cómo se calcula el máximo común divisor ($\text{m.c.d.}$) a partir de la descomposición factorial?

Se toman únicamente los factores primos comunes elevados al menor exponente.

En los problemas de divisibilidad, ¿cuándo se recurre al $\text{m.c.m.}$ y cuándo al $\text{m.c.d.}$?

Se utiliza el $\text{m.c.m.}$ cuando se trata de coincidir o repetir ciclos en el tiempo. Se utiliza el $\text{m.c.d.}$ cuando se trata de repartir, envasar, cortar o distribuir en la mayor cantidad o longitud posible.

Tres alumnos tardan $40\,\text{s}$, $50\,\text{s}$ y $60\,\text{s}$ en dar una vuelta. ¿Cuánto tiempo tardarán en volver a coincidir en la línea de partida?

Tardarán $600\,\text{segundos}$, calculado mediante $\text{m.c.m.}(40, 50, 60) = 2^3 \times 3 \times 5^2 = 8 \times 3 \times 25 = 600$.

Marta tiene cables de $120\,\text{m}$ y $96\,\text{m}$ y los corta en trozos de la máxima longitud igual posible. ¿Cuánto mide cada trozo y cuántos obtiene en total?

Cada trozo mide $24\,\text{m}$ ya que $\text{m.c.d.}(120, 96) = 2^3 \times 3 = 24$. En total obtiene $5 + 4 = 9\,\text{trozos}$.

¿Cómo se comprueba si dos fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ son equivalentes?

Se verifica si sus productos cruzados son iguales, es decir, si $a \times d = b \times c$.

¿Qué es una fracción irreducible y cómo se obtienen fracciones equivalentes?

Una fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar más. Las fracciones equivalentes se obtienen por amplificación (multiplicando numerador y denominador por el mismo número) o por simplificación (dividiendo ambos por un divisor común).

¿Cómo se comparan y ordenan fracciones que tienen distinto denominador?

Se reducen a común denominador calculando el $\text{m.c.m.}$ de los denominadores; una vez igualados los denominadores, se ordenan según el valor de sus numeradores.

¿Cómo se realizan la multiplicación y la división de fracciones?

En la multiplicación se opera en línea: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$. En la división se multiplica en cruz: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times c}$.

¿Cómo se clasifican las fracciones según la relación entre su numerador y su denominador?

Fracción propia: numerador menor que denominador ($a < b$). Fracción impropia: numerador mayor que denominador ($a > b$). Fracción igual a la unidad: numerador igual al denominador ($a = b$).

¿Cuál es el procedimiento para transformar una fracción impropia en un número mixto?

1º Se mantiene el denominador; 2º se busca el mayor múltiplo del denominador que no supere al numerador, colocando dicho factor delante como parte entera; 3º lo que falte para alcanzar al numerador original se coloca como nuevo numerador.

¿Cuáles son las relaciones entre la fracción, el total y la parte en los problemas aritméticos?

1) Cálculo de la parte: $\text{Parte} = \text{Fracción} \times \text{Total}$; 2) Cálculo de la fracción: $\text{Fracción} = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}}$; 3) Cálculo del total: $\text{Total} = \frac{\text{Parte}}{\text{Fracción}}$.

Una empresa de bicis dispone de $1155\,\text{unidades}$, de las cuales $\frac{2}{7}$ están en reparación o reserva. ¿Cuántas están en funcionamiento?

Hay $330\,\text{bicis}$ en reserva ($1155 \times \frac{2}{7} = 330$), por lo que en funcionamiento hay $1155 - 330 = 825\,\text{bicis}$.

¿Cómo se estructuran los órdenes de magnitud en un número decimal como $108{,}923$?

La parte entera es $108$ (centenas, decenas, unidades) y la parte decimal es $923$, donde el $9$ representa las décimas, el $2$ las centésimas y el $3$ las milésimas.

¿Cuál es la diferencia entre aproximar por truncamiento y por redondeo?

En el truncamiento se cortan las cifras a partir del orden indicado eliminando el resto (por ejemplo, $5{,}3456$ a las centésimas es $5{,}34$). En el redondeo, si la cifra siguiente es $5$ o mayor, se suma $1$ a la unidad fijada (por ejemplo, $5{,}3456$ a las centésimas es $5{,}35$).

¿Cómo se clasifican los números decimales?

Se clasifican en decimal exacto (por ejemplo, $3{,}5$), decimal periódico puro (por ejemplo, $0{,}\widehat{371}$) y decimal periódico mixto (que presenta un anteperíodo seguido del período, como $254{,}5\widehat{5}$ o $0{,}9\widehat{3}$).

¿Qué es el valor absoluto de un número entero y cómo se representa simbólicamente?

Es la distancia que existe desde ese número hasta el $0$ en la recta numérica. Siempre resulta en un valor no negativo (por ejemplo, $|-4| = 4$ y $|3| = 3$).

¿Cómo se define el opuesto de un número entero, denotado como $\text{Op}(a)$?

Es el mismo número pero con signo contrario (por ejemplo, $\text{Op}(-4) = 4$, $\text{Op}(7) = -7$ y $\text{Op}(-200) = 200$).

¿Cuáles son los criterios para sumar dos números enteros según sus signos?

Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se mantiene el signo común. Si tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y se coloca el signo del número con mayor valor absoluto.

¿Cuál es la regla de los signos para la multiplicación y división de números enteros?

El producto o cociente de números con signos iguales es positivo ($(+) \cdot (+) = (+)$ y $(-) \cdot (-) = (+)$), mientras que con signos distintos es negativo ($(+) \cdot (-) = (-)$ y $(-) \cdot (+) = (-)$).

¿Cuál es la jerarquía obligatoria que rige las operaciones combinadas?

$1^\circ$ Potencias, raíces y paréntesis; $2^\circ$ Multiplicaciones y divisiones; $3^\circ$ Sumas y restas resueltas en orden de izquierda a derecha.

Un depósito vacío se llena mediante un grifo a razón de $120\,\text{L/min}$, pero pierde $10\,\text{L/min}$ por grietas. ¿Qué operación combinada modela el volumen tras una hora y cuál es el resultado?

La operación es $(120 - 10) \times 60$, dando un resultado final de $110 \times 60 = 6600\,\text{L}$.

Elena tiene $70\,\text{€}$ en el banco, ingresa $15\,\text{€}$ y luego saca $32\,\text{€}$. ¿Cuál es la expresión aritmética y su saldo actual?

La operación es $70 + 15 - 32$, que da $85 - 32 = 53\,\text{€}$.

La temperatura de un frigorífico baja $5^\circ\text{C}$ por minuto. Si parte de $20^\circ\text{C}$, ¿en cuántos minutos alcanzará los $10^\circ\text{C}$ bajo cero?

Tardará $6\,\text{minutos}$, obtenido mediante el cálculo: $[20 - (-10)] / 5 = 30 / 5 = 6\,\text{minutos}$.

En un examen evaluado sobre $1000\,\text{puntos}$, cada falta ortográfica descuenta $25\,\text{puntos}$. Si un estudiante comete $7\,\text{faltas}$, ¿cuánto bajará su nota y cuál será su calificación final?

Su nota bajará $175\,\text{puntos}$ ($25 \times 7 = 175$) y obtendrá una calificación final de $825\,\text{puntos}$ ($1000 - 175 = 825$).

¿Cuáles son las condiciones de divisibilidad por $2$, por $3$ y por $4$?

Un número es divisible entre $2$ si termina en cifra par; entre $3$ si la suma de todas sus cifras es un múltiplo de $3$; y entre $4$ si sus dos últimas cifras son ceros o componen un múltiplo de $4$.

¿Cuáles son las condiciones de divisibilidad por $5$, $6$, $9$ y $10$?

Entre $5$ si termina en $0$ o $5$; entre $6$ si es divisible simultáneamente entre $2$ y entre $3$; entre $9$ si la suma de sus cifras da un múltiplo de $9$; y entre $10$ si acaba en cifra $0$.

¿Cuáles son los cuatro pasos para verificar el criterio de divisibilidad entre $11$?

$1^\circ$ Sumar las cifras que ocupan posiciones pares; $2^\circ$ Sumar las cifras que ocupan posiciones impares; $3^\circ$ Restar ambos resultados obtenidos; $4^\circ$ Comprobar que la diferencia sea igual a $0$ o a un múltiplo de $11$.

¿Qué distingue conceptualmente a un número primo de un número compuesto?

Un número primo únicamente posee dos divisores: el $1$ y él mismo ($2, 3, 5, 7, 11, \dots$), mientras que un número compuesto tiene más de dos divisores ($4, 6, 8, 9, 10, \dots$).

¿En qué consiste la descomposición factorial de un número entero?

Consiste en expresar dicho número como un producto integrado únicamente por factores primos (por ejemplo, $24 = 2^3 \times 3$ y $125 = 5^3$).

¿Cómo se define y cómo se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) a partir de la descomposición factorial?

Es el menor múltiplo positivo común a varios números. Se calcula seleccionando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

¿Cómo se define y cómo se calcula el máximo común divisor (m.c.d.) a partir de la descomposición factorial?

Es el mayor divisor común que comparten varios números. Se calcula multiplicando únicamente los factores primos comunes elevados al menor exponente.

¿Qué palabras clave indican la aplicación del m.c.m. o del m.c.d. en la resolución de problemas?

Se aplica el $\text{m.c.m.}$ cuando el problema plantea coincidir o repetir en el tiempo. Se aplica el $\text{m.c.d.}$ cuando exige repartir, envasar, cortar o distribuir en partes de máxima dimensión.

Tres corredores tardan $40\,\text{s}$, $50\,\text{s}$ y $60\,\text{s}$ en completar una vuelta a la pista. Si parten juntos, ¿cuánto tiempo tardarán en volver a coincidir en la meta?

Tardarán $600\,\text{s}$, calculado mediante $\text{mcm}(40, 50, 60) = 2^3 \times 3 \times 5^2 = 8 \times 3 \times 25 = 600\,\text{s}$.

Pablo practica violín cada $2\,\text{días}$, natación cada $3\,\text{días}$ y danza cada $4\,\text{días}$. ¿Cada cuántos días coinciden las tres actividades?

Coinciden cada $12\,\text{días}$, ya que $\text{mcm}(2, 3, 4) = 2^2 \times 3 = 12\,\text{días}$.

Marta tiene dos rollos de cable de $120\,\text{m}$ y $96\,\text{m}$ y desea cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud posible. ¿Cuánto medirá cada trozo y cuántos obtendrá en total?

Cada trozo medirá $24\,\text{m}$ ($\text{mcd}(120, 96) = 2^3 \times 3 = 24\,\text{m}$) y obtendrá un total de $9\,\text{trozos}$ ($5$ trozos de $120\,\text{m}$ y $4$ trozos de $96\,\text{m}$).

Si se sabe que $\frac{1}{6}$ del total equivale a $36$, ¿cómo se determina el valor del total?

Se multiplica la cantidad conocida por el denominador de la fracción: $\text{Total} = 36 \times 6 = 216$.

¿Cuál es la regla para determinar si dos fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ son equivalentes?

Son equivalentes si sus productos cruzados coinciden: $a \cdot d = b \cdot c$.

¿Qué diferencia existe entre amplificar y simplificar una fracción, y qué es una fracción irreducible?

Amplificar consiste en multiplicar numerador y denominador por el mismo número, mientras que simplificar es dividirlos entre un divisor común. La fracción irreducible es aquella que no admite más simplificaciones.

¿Cuál es el procedimiento para comparar y ordenar fracciones que tienen diferente denominador?

Se calcula el $\text{m.c.m.}$ de los denominadores para reducirlas a un común denominador; una vez igualados los denominadores, es mayor aquella fracción que presente mayor numerador.

¿Cómo se efectúan mecánicamente la multiplicación y la división de dos fracciones?

La multiplicación se realiza en línea ($\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$) y la división se realiza multiplicando en cruz ($\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$).

¿Cómo se clasifican las fracciones según la relación entre el numerador y el denominador?

Fracción propia si el numerador es menor que el denominador ($\frac{a}{b} < 1$), impropia si el numerador es mayor que el denominador ($\frac{a}{b} > 1$), e igual a la unidad si ambos términos son idénticos ($\frac{a}{b} = 1$).

¿Cómo se transforma un número mixto de la forma $C \frac{r}{d}$ en una fracción impropia?

Se multiplica la parte entera por el denominador y se le añade el numerador, conservando el mismo denominador: $\frac{C \cdot d + r}{d}$.

Una empresa de alquiler de bicicletas cuenta con $1155\,\text{unidades}$, de las cuales $330$ están en reparación o reserva. ¿Qué fracción y cuántas bicicletas están en funcionamiento?

En reparación están $\frac{330}{1155} = \frac{2}{7}$, por lo que en funcionamiento se hallan los $\frac{5}{7}$ del total, equivalentes a $1155 - 330 = 825\,\text{bicicletas}$.

En Villaquebrado, $\frac{1}{2}$ de los habitantes nació en el pueblo y $\frac{4}{15}$ procede de Ciudad Racional. ¿Qué fracción de la población procede de Cocientópolis?

Procede el $\frac{7}{30}$, obtenido tras sumar $\frac{1}{2} + \frac{4}{15} = \frac{15}{30} + \frac{8}{30} = \frac{23}{30}$ y restar del total unitario: $1 - \frac{23}{30} = \frac{7}{30}$.

¿Cuáles son las partes constitutivas del número decimal $108{,}923$ según su posición posicional?

Posee una parte entera ($108$) y una parte decimal ($923$), donde el $9$ corresponde a las décimas, el $2$ a las centésimas y el $3$ a las milésimas.

¿Qué diferencia al truncamiento del redondeo al aproximar a las centésimas el número $5{,}3456$?

El truncamiento corta directamente las cifras sobrantes obteniendo $5{,}34$, mientras que el redondeo observa la cifra siguiente ($5$) e incrementa en una unidad la centésima, resultando en $5{,}35$.

¿Cómo deben alinearse los términos en la suma y resta de decimales frente a la regla de decimales en la multiplicación?

En la suma y la resta se deben alinear en columnas haciendo coincidir exactamente las comas decimales; en la multiplicación se opera como enteros y el producto final debe tener tantas cifras decimales como la suma de decimales de todos los factores.

¿Cómo se clasifican los números decimales y en qué se distinguen el periódico puro del periódico mixto?

Se clasifican en decimal exacto (número finito de cifras), periódico puro (las cifras periódicas inician inmediatamente tras la coma) y periódico mixto (presenta un anteperíodo no periódico entre la coma y el período).