Equztion complex

À quelle condition l'équation exp(z)=a admet-elle des solutions dans ℂ ?

L'équation exp(z)=a admet des solutions si et seulement si a≠0, puisque l'exponentielle complexe ne s'annule jamais.

Résoudre l'équation exp(z)=a pour a∈ℂ*.

En écrivant z=x+iy, exp(z)=e^x exp(iy). Ainsi exp(z)=a ⇔ x=ln|a| et y≡arg(a) [2π]. Les solutions sont z=ln|a|+i(θ+2kπ), k∈ℤ, où θ est un argument de a.

Faire la démonstration de la résolution de exp(z)=a.

Soit z=x+iy et a=ρexp(iθ), avec ρ=|a|>0. L'égalité exp(z)=a devient e^x exp(iy)=ρexp(iθ). En prenant les modules, e^x=ρ, donc x=lnρ. En comparant les arguments, y≡θ [2π]. Réciproquement, tout z=lnρ+i(θ+2kπ) vérifie exp(z)=ρexp(iθ)=a.

Résoudre exp(z)=1 dans ℂ.

Les solutions sont exactement z=2ikπ, avec k∈ℤ.

Résoudre exp(z)=−1 dans ℂ.

Les solutions sont exactement z=i(π+2kπ), avec k∈ℤ.

Définir une racine carrée d'un nombre complexe.

Pour z,ω∈ℂ, on dit que ω est une racine carrée de z lorsque ω²=z.

Combien de racines carrées possède un complexe ?

Si z=0, sa seule racine carrée est 0. Si z≠0, il possède exactement deux racines carrées distinctes, opposées l'une de l'autre.

Faire la démonstration de l'existence des deux racines carrées d'un complexe non nul.

Soit z=ρexp(iθ), avec ρ>0. Poser ω=√ρ exp(iθ/2). Alors ω²=ρexp(iθ)=z. De plus (−ω)²=z. Si η²=z, alors η²−ω²=(η−ω)(η+ω)=0. Comme ℂ est intègre, η=ω ou η=−ω. Les deux solutions sont distinctes puisque ω≠0.

Comment déterminer les racines carrées de z=a+ib sous forme algébrique ?

Chercher ω=x+iy avec x,y∈ℝ. L'égalité ω²=z équivaut à x²−y²=a et 2xy=b. En utilisant |ω|²=|z|, on ajoute x²+y²=√(a²+b²). Ainsi x²=(|z|+a)/2 et y²=(|z|−a)/2, puis on choisit les signes pour vérifier 2xy=b.

Énoncer la formule des racines d'une équation du second degré dans ℂ.

Soient a,b,c∈ℂ avec a≠0. Pour az²+bz+c=0, poser Δ=b²−4ac et choisir δ∈ℂ tel que δ²=Δ. Les solutions sont z₁=(−b+δ)/(2a) et z₂=(−b−δ)/(2a).

Faire la démonstration de la formule du second degré complexe.

az²+bz+c=a[(z+b/(2a))²−Δ/(4a²)]. Donc az²+bz+c=0 ⇔ (2az+b)²=Δ. Si δ²=Δ, alors (2az+b−δ)(2az+b+δ)=0. Ainsi 2az+b=δ ou 2az+b=−δ, d'où les deux formules.

Quelle est la condition d'existence d'une racine double pour un trinôme complexe ?

Pour az²+bz+c avec a≠0, il existe une unique racine double si et seulement si Δ=b²−4ac=0. Elle vaut z₀=−b/(2a).

Quelles sont les solutions d'un trinôme à coefficients réels selon le signe du discriminant ?

Pour a,b,c∈ℝ et a≠0 : si Δ>0, deux racines réelles distinctes ; si Δ=0, une racine réelle double ; si Δ<0, deux racines complexes non réelles conjuguées.

Pourquoi les racines non réelles d'un polynôme à coefficients réels sont-elles conjuguées ?

Si P a des coefficients réels, alors P(z̄)=P(z)̄. Donc P(z)=0 entraîne P(z̄)=0. Les racines non réelles apparaissent ainsi par paires conjuguées.

Énoncer les relations coefficients-racines d'un trinôme complexe.

Si z₁ et z₂ sont les racines de az²+bz+c, avec a≠0, alors z₁+z₂=−b/a et z₁z₂=c/a, les racines étant comptées avec multiplicité.

Faire la démonstration des relations coefficients-racines.

On factorise az²+bz+c=a(z−z₁)(z−z₂)=az²−a(z₁+z₂)z+az₁z₂. L'identification des coefficients donne −a(z₁+z₂)=b et az₁z₂=c. Donc z₁+z₂=−b/a et z₁z₂=c/a.

Comment retrouver un polynôme du second degré à partir de ses deux racines ?

Si z₁,z₂∈ℂ, les polynômes du second degré ayant exactement ces racines, comptées avec multiplicité, sont P(z)=a(z−z₁)(z−z₂), avec a∈ℂ*. En développant : P(z)=a[z²−(z₁+z₂)z+z₁z₂].

Définir une racine n-ième de l'unité.

Pour n∈ℕ*, un complexe ω est une racine n-ième de l'unité si et seulement si ω^n=1.

Énoncer la formule générale des racines n-ièmes de l'unité.

Pour n≥1, les solutions de z^n=1 sont les n complexes distincts ωₖ=exp(2ikπ/n), pour k∈{0,1,…,n−1}.

Définir l'ensemble Uₙ des racines n-ièmes de l'unité.

Pour n≥1, Uₙ={exp(2ikπ/n) | k∈{0,…,n−1}}={z∈ℂ | z^n=1}.

Faire la démonstration de la formule des racines n-ièmes de l'unité.

Soit z^n=1. En prenant les modules, |z|^n=1, donc |z|=1. On écrit z=exp(iθ). Alors exp(inθ)=1, donc nθ∈2πℤ. Ainsi θ=2kπ/n avec k∈ℤ. Deux indices donnent la même racine si et seulement s'ils sont congrus modulo n. On obtient exactement n solutions distinctes pour k=0,…,n−1.

Quelle est l'interprétation géométrique des racines n-ièmes de l'unité ?

Les n racines appartiennent au cercle trigonométrique et sont régulièrement espacées d'un angle 2π/n. Elles sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité.

Déterminer les racines cubiques de l'unité.

U₃={1,exp(2iπ/3),exp(4iπ/3)}={1,−1/2+i√3/2,−1/2−i√3/2}.

Déterminer les racines quatrièmes de l'unité.

U₄={1,i,−1,−i}.

Quelle relation vérifie la somme des racines n-ièmes de l'unité ?

Pour n≥2, Σ(k=0 à n−1)exp(2ikπ/n)=0.

Faire la démonstration de la somme des racines n-ièmes de l'unité.

Poser ω=exp(2iπ/n), avec n≥2. Alors ω≠1 et ω^n=1. La formule de la somme géométrique donne Σ(k=0 à n−1)ω^k=(1−ω^n)/(1−ω)=0.

Énoncer la formule générale des racines n-ièmes d'un complexe non nul.

Soit a∈ℂ*, n≥1 et θ un argument de a. Les n solutions distinctes de z^n=a sont zₖ=|a|^(1/n) exp(i(θ+2kπ)/n), pour k=0,…,n−1.

Comment exprimer les racines n-ièmes de a à partir d'une racine particulière ?

Soit b=|a|^(1/n)exp(iθ/n), où θ est un argument de a. Alors b^n=a et l'ensemble des solutions de z^n=a est {bω | ω∈Uₙ}.

Faire la démonstration de la formule des racines n-ièmes d'un complexe non nul.

Soit a=ρexp(iθ), avec ρ>0, et z=rexp(iφ) une solution de z^n=a. Alors r^n=ρ, donc r=ρ^(1/n), et nφ≡θ [2π], donc φ=(θ+2kπ)/n. Les valeurs k=0,…,n−1 fournissent n solutions distinctes. Réciproquement, chacune vérifie zₖ^n=ρexp(iθ)=a.

Comment résoudre méthodiquement une équation z^n=a ?

Si a=0, l'unique solution est z=0. Sinon : 1) calculer ρ=|a| ; 2) choisir θ∈arg(a) ; 3) calculer r=ρ^(1/n) ; 4) écrire zₖ=r exp(i(θ+2kπ)/n), pour k=0,…,n−1 ; 5) convertir en forme algébrique si demandé.