Physique : Analyse Vectorielle, Cinématique, Dynamique et Énergétique du Point Matériel

Flashcards complètes couvrant l'analyse vectorielle, les systèmes de coordonnées, la cinématique, la dynamique, le moment cinétique et l'énergétique du point matériel.

Comment est défini le sens direct d'un trièdre $(O, x, y, z)$ selon la règle du tire-bouchon ?

Un trièdre est direct lorsque le sens de progression du tire-bouchon, faisant tourner l'axe $Ox$ vers l'axe $Oy$, définit le sens positif donné par l'axe $Oz$.

Quelle est la différence fondamentale entre un vecteur lié et un vecteur glissant (ou vecteur axial) ?

Un vecteur lié a pour origine un point déterminé de l'espace (vecteur polaire), tandis qu'un vecteur glissant (vecteur axial) a pour origine un point quelconque de sa droite de support.

Que représente géométriquement la norme du produit vectoriel \|\vec{u} \wedge \vec{v}\| ?

Elle représente l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Que représente géométriquement la valeur absolue du produit mixte $\vec{u} \cdot (\vec{v} \wedge \vec{w})$ illustré ci-dessous ?

Elle représente le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.

Comment s'exprime le moment $\vec{\mathcal{M}}_O(\vec{u})$ d'un vecteur $\vec{u}$ appliqué en $M$ par rapport à un point $O$, ainsi que son moment par rapport à un axe $\Delta$ passant par $O$ ?

Le moment par rapport au point $O$ est $\vec{\mathcal{M}}_O(\vec{u}) = \vec{OM} \wedge \vec{u}$. Le moment par rapport à l'axe $\Delta$ de vecteur unitaire $\vec{n}$ est la projection scalaire $\mathcal{M}_\Delta(\vec{u}) = \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{u}) \cdot \vec{n}$.

Quelle relation relie la différentielle totale $dS$ d'un champ scalaire $S(x, y, z)$ à son gradient $\vec{\text{grad}}\,S$ et au déplacement élémentaire $d\vec{l}$ ?

La circulation élémentaire du gradient donne la différentielle totale : $dS = \vec{\text{grad}}\,S \cdot d\vec{l} = \frac{\partial S}{\partial x}\,dx + \frac{\partial S}{\partial y}\,dy + \frac{\partial S}{\partial z}\,dz$.

Quelle est la signification physique de l'opérateur divergence $\text{div}\,\vec{V} = \vec{\nabla} \cdot \vec{V}$ pour un volume élémentaire ?

Il indique si le flux représenté par le champ vectoriel (masse, chaleur, etc.) est en excès ou en défaut à travers la frontière de ce volume élémentaire.

Qu'énonce le théorème de Green-Ostrogradski pour le flux d'un champ vectoriel $\vec{A}$ à travers une surface fermée $S$ délimitant un volume $V$ ?

$\iint_S \vec{A} \cdot d\vec{S} = \iiint_V \text{div}\,\vec{A}\,dV$.

Qu'énonce le théorème de Stokes reliant la circulation d'un champ vectoriel $\vec{A}$ le long d'une courbe fermée $(C)$ à son rotationnel ?

$\oint_{(C)} \vec{A} \cdot d\vec{l} = \iint_S \vec{\text{rot}}\,\vec{A} \cdot d\vec{S}$, où $S$ est une surface s'appuyant sur le contour $(C)$.

Qu'appelle-t-on une fonction scalaire harmonique ?

C'est une fonction scalaire $f$ dont le laplacien est nul : $\Delta f = \vec{\nabla}^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0$.

Quelles sont les relations de transformation des coordonnées cylindriques $(\rho, \phi, z)$ en coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ ?

$x = \rho\cos(\phi)$, $y = \rho\sin(\phi)$ et $z = z$.

Quelles sont les relations de transformation des coordonnées sphériques $(r, \theta, \phi)$ en coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ ?

$x = r\sin(\theta)\cos(\phi)$, $y = r\sin(\theta)\sin(\phi)$ et $z = r\cos(\theta)$.

Quelles sont les expressions de l'élément de longueur $dl$ et du volume élémentaire $dv$ en coordonnées sphériques ?

$dl = \sqrt{(dr)^2 + (r\,d\theta)^2 + (r\sin(\theta)\,d\phi)^2}$ et $dv = r^2\sin(\theta)\,dr\,d\theta\,d\phi$.

D'après cette figure de la trajectoire d'une particule ponctuelle, quelle est l'orientation caractéristique du vecteur vitesse instantané ?

Le vecteur vitesse instantané est en tout point tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Qu'est-ce que l'hodographe du mouvement d'un point matériel $M$ ?

C'est la courbe décrite par l'extrémité du vecteur vitesse $\vec{V}$ tracé à partir d'un pôle fixe $O$ tel que $\vec{OP} = \vec{V}$.

Quelle est l'expression du vecteur vitesse instantanée $\vec{V}$ en coordonnées cylindriques $(\vec{e}_\rho, \vec{e}_\phi, \vec{e}_z)$ ?

$\vec{V} = \dot{\rho}\vec{e}_\rho + \rho\dot{\phi}\vec{e}_\phi + \dot{z}\vec{e}_z$.

Quelles sont les composantes de l'accélération $\vec{a}$ en coordonnées polaires $(\vec{e}_\rho, \vec{e}_\theta)$ ?

$a_\rho = \ddot{\rho} - \rho\dot{\theta}^2$ et $a_\theta = 2\dot{\rho}\dot{\theta} + \rho\ddot{\theta}$.

Quelles sont les composantes tangentielle $a_\tau$ et normale $a_n$ de l'accélération dans la base de Frénet ?

$a_\tau = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2}$ et $a_n = \frac{v^2}{R_c}$, où $R_c$ est le rayon de courbure de la trajectoire et $s$ l'abscisse curviligne.

Comment se définit le vecteur courbure $\vec{C}$ et comment est calculé le rayon de courbure $R_c$ ?

$\vec{C} = \frac{d\vec{\tau}}{ds} = \frac{1}{V}\frac{d\vec{\tau}}{dt} = C\vec{n}$, et le rayon de courbure est l'inverse de la courbure : $R_c = \frac{1}{C} = V\left\|\frac{d\vec{\tau}}{dt}\right\|^{-1}$.

Quelle est la définition de la vitesse aréolaire $\vec{\sigma}$ et de la constante des aires $C$ ?

La vitesse aréolaire est $\vec{\sigma} = \frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{1}{2}\vec{r} \wedge \frac{d\vec{r}}{dt}$, et la constante des aires vaut $C = 2\sigma = \|\vec{r} \wedge \vec{v}\|$.

Quelle est la loi de composition des vitesses pour un point $M$ entre un référentiel absolu $\mathcal{R}$ et un référentiel relatif $\mathcal{R}'$ en rotation à la vitesse angulaire $\vec{\Omega}$ ?

$\vec{V}_a(M) = \vec{V}_r(M) + \vec{V}_e(M)$, avec $\vec{V}_e(M) = \vec{V}_a(O') + \vec{\Omega} \wedge \vec{O'M}$.

Comment s'exprime l'accélération de Coriolis $\vec{\gamma}_c(M)$ d'un point $M$ et sous quelles conditions s'annule-t-elle ?

$\vec{\gamma}_c(M) = 2\vec{\Omega} \wedge \vec{V}_r(M)$. Elle s'annule si le référentiel relatif est en translation pure ($\vec{\Omega} = \vec{0}$) ou si le mobile est immobile dans le référentiel relatif ($\vec{V}_r(M) = \vec{0}$).

Quelles sont les équations horaires cartésiennes d'un mouvement cycloïdal d'une roue de rayon $R$ roulant sans glisser le long de l'axe $Ox$ ?

$x(t) = R(\theta - \sin(\theta))$ et $y(t) = R(1 - \cos(\theta))$, où $\theta$ est l'angle de rotation de la roue.

Comment est définie la masse $m$ d'une particule soumise successivement à diverses forces $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots$ produisant des accélérations $\vec{\gamma}_1, \vec{\gamma}_2, \dots$ ?

Elle est définie par le quotient constant : $\frac{F_1}{\gamma_1} = \frac{F_2}{\gamma_2} = \dots = m$.

Quel est le mouvement relatif liant deux référentiels galiléens distincts ?

Deux référentiels galiléens effectuent l'un par rapport à l'autre un mouvement de translation rectiligne uniforme ($\vec{V}_e = \vec{\text{cte}}$).

Quelles sont les expressions des forces d'inertie d'entraînement $\vec{F}_{ie}$ et de Coriolis $\vec{F}_{ic}$ à introduire dans un référentiel non galiléen ?

$\vec{F}_{ie} = -m\vec{\gamma}_e$ et $\vec{F}_{ic} = -m\vec{\gamma}_c$.

Quelles relations définissent les composantes de frottement statique et cinétique selon les lois de contact ?

Tant qu'il n'y a pas glissement : $0 \le R_T \le \mu_s R_N$. En cas de glissement : $R_T = \mu_c R_N$, avec $\mu_c < \mu_s$.

Qu'énonce le théorème du moment cinétique pour une particule $M$ par rapport à un point fixe $O$ dans un référentiel galiléen ?

$\frac{d\vec{\sigma}_O}{dt} = \vec{\mathcal{M}}_O\left(\sum \vec{F}_{ext}\right)$, la dérivée temporelle du moment cinétique est égale au moment résultant des forces extérieures appliquées.

Pourquoi le mouvement d'une particule soumise à une force centrale $\vec{F} = F(r)\vec{e}_r$ est-il obligatoirement plan ?

Comme $\vec{OM} \wedge \vec{F} = \vec{0}$, le moment cinétique est constant ($\vec{\sigma}_O = \vec{\text{cte}}$) ; étant perpendiculaire à $\vec{OM}$ et $\vec{v}$, la trajectoire est contenue dans le plan orthogonal à $\vec{\sigma}_O$.

Quelle est l'expression de la composante radiale de l'accélération $\gamma_r$ dans les formules de Binet en posant $u = \frac{1}{r}$ ?

$\gamma_r = -C^2 u^2 \left(u + \frac{d^2 u}{d\theta^2}\right)$, où $C = r^2\dot{\theta}$ est la constante des aires.

Qu'énonce le théorème de la variation de l'énergie cinétique pour une particule entre deux états $1$ et $2$ ?

$\Delta E_c = E_c(2) - E_c(1) = W_{1\to 2}\left(\sum \vec{F}\right)$, la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées.

À quelles conditions équivalentes une force $\vec{F}$ est-elle dite conservative ?

Elle dérive d'une énergie potentielle ($\vec{F} = -\vec{\text{grad}}\,E_p$), son rotationnel est nul ($\vec{\text{rot}}\,\vec{F} = \vec{0}$), ou sa circulation sur tout contour fermé est nulle ($\oint \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$).

Comment varie l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_p$ en présence de forces non conservatives effectuant un travail $W'$ ?

La variation de l'énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces non conservatives : $\Delta E_m = W'$.

Quelles sont les conditions sur l'énergie potentielle $E_p(r)$ pour qu'une particule soit en équilibre stable ?

L'énergie potentielle doit être minimale, ce qui se traduit par $\frac{dE_p}{dr} = 0$ et $\frac{d^2 E_p}{dr^2} > 0$.