Folgen reeller Zahlen & Asymptotische Vergleiche

Grenzwert-Definition

$$\forall \varepsilon > 0 \ \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \ \forall n > N(\varepsilon): |a_n - a| < \varepsilon$$

Uneigentlicher Grenzwert-Definition

$$\forall K > 0 \ \exists N(K) \in \mathbb{N} \ \forall n > N(K): a_n > K$$

Vollständigkeitssatz für $\mathbb{R}$

Jede nach oben/unten beschränkte, nicht leere Teilmenge von $\mathbb{R}$ besitzt ein Supremum bzw. Infimum

Beschränktheit konvergenter Folgen

Jede konvergente Folge ist beschränkt

Hauptsatz über monotone Folgen

Ist eine Folge monoton und beschränkt, so ist sie konvergent

Bernoullische Ungleichung

$(1+x)^n \ge 1 + nx$ (für $x \ge -1$, $n \in \mathbb{N}$)

Sandwich-Theorem

Seien $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ Folgen mit $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = a$ und $a_n \le c_n \le b_n$, so folgt $\lim_{n\to\infty} c_n = a$

Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge und somit mindestens einen Häufungspunkt

Cauchy-Folge Definition

Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn für alle $\varepsilon > 0$ ein $N(\varepsilon)$ existiert, sodass $|a_n - a_m| < \varepsilon$ für alle $n, m > N(\varepsilon)$ gilt

Cauchy-Kriterium

Eine reelle Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist

Asymptotischer Vergleich: Groß-O

$$a_n = O(b_n) \iff \exists C > 0 \colon \left|\frac{a_n}{b_n}\right| \le C$$

Asymptotischer Vergleich: Klein-o

$$a_n = o(b_n) \iff \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = 0$$

Asymptotischer Vergleich: Asymptotisch gleich

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$$

Asymptotischer Vergleich: Omega

$a_n = \Omega(b_n) \iff b_n = O(a_n)$ bzw. $$\left|\frac{b_n}{a_n}\right| \le C