MATHS

théorème de comparaison pour les limites infinies

théorème d’existence d’une limite finie par encadrement/théorème d’encadrement

METHODE : montrer qu’une suite (u_n) définie explicitement converge

• théorème de comparaison

• théorème d’encadrement

• calculer la limite directement

  • => donne limite au passage

• théorème convergence monotone

• 
  

ex montrer que u_n converge

théorème de convergence des suites monotones

def des suites adjacentes

théorème des suites adjacentes

la composition de deux fonctions décroissantes donne une fonction…

croissante

définition d’une suite récurrente d’ordre 1

Plan d’étude d’une suite récurrente d’ordre 1

Théorème des suites extraites

si (u_2n) et (u_2n+1) sont deux suites adjacentes, monotones et de sens contraire alors ce sont les suites extraites de (u_n) et (un) CV vers leur limite L

intervalle I stable sur pour f <=>

exemple

Plan d’étude d’une suite implicite dont le terme est solution d’une équation

exemple
niveau + : étudier directement la suite

DL de e^ax

DL de (1+x)^a

DL de 1/1+x

DL de 1/ 1-x

DL de cos(x)

DL de sin(x)

DL de ln(1+x)

DL de ln(1-x)

formule du binôme de Newton

combinaisons usuelles (0, 1, n-1, n)

application du binôme de Newton à quelles notions ?

• polynomes P, Q appartenant à K[X]²

• matrices carrées de taille p inversibles et commutables

application de a**n - b**n à quelles notions ?

polynomes
matrices

formule de Taylor Young

formule de Taylor Young appliquée aux polynomes

def racine a d’un polynome

def racine multiple d’ordre 2 de polynome

si racine multiple de polynome est d’ordre k>=2, P s’écrit :

ordre minimal d’une racine multiple ?
comment appelle on une racine d’ordre 1 ?

2 au minimum
simple

factorisation d’un polynôme en fonction du nombre de ses racines + déduction sur le degré de P

relation entre le degré de P et le nombre de racines de P comptées avec leur ordre de multiplicité

théorème d’Alembert Gauss

0⁰=

1

contraposée théorème sur le nombre de racines d’un polynome

(hyper importante !!!)

factorisation d’un polynome dans C[X]

factoriser un polynome dans R[X] ?

Lemme sur racine complexe d’un polynome + démonstration + déduction sur la factorisation de P

def racine n-ième de A dans les complexes pour n>=1

la solution de l’équation zⁿ=A

METHODE résoudre zⁿ= A (réel ou complexe) (avec passage sous forme exponentielle)

1. vérifier si 0 est solution

2. écrire z sous forme exponentielle (attention ! QUE si z =! 0 !!)

3. écrire A sous forme exponentielle si possible (ou faire des combines pour type “A e^{i * theta}”)

4. utiliser l’égalité des modules et des arguments

5. regarder combien de racines on veut : si n on les décomptes
   ex : si 0 est solution on a 0 + n-1 racines issues de la méthode

cas particulier des racines deuxièmes

METHODE 2 : TROUVER LA RACINE DEUXIEME D’UN COMPLEXE

exemple : résoudre 1 + i = z²
Que représente l’ensemble des solutions ?

les différentes formes d’écriture d’un polynome du second degré

relation racines/coefficients d’un polynôme (cas du second degré, généralisable aux autres)

def espace vectoriel

les 2 règles de calcul espaces vectoriel + démo de photo

ex fondamental : Rⁿ et Cⁿ

• définition de la somme

• élément neutre

• opposé

• définition de multiplication par un scalaire

C espace vectoriel de base…

• définition de la somme

• élément neutre

• opposé

• définition de multiplication par un scalaire

(1,i)

R[X] est un … C[X] …

• définition de la somme

• élément neutre

• opposé

• définition de multiplication par un scalaire

R ev

C ev

pour (n,p) deux entiers de N*, M_(n,p)(K) est un…

• définition de la somme

• élément neutre

• opposé

• définition de multiplication par un scalaire

K ev

S_R ou (R^N) est un…

• définition de la somme

• élément neutre

• opposé

• définition de multiplication par un scalaire

R ev

A(I,R) (l’ensemble des applications d’une partie I de R dans R) est un…

• définition de la somme

• élément neutre

• opposé

• définition de multiplication par un scalaire

Rev

def d’un K espace vectoriel

propriété caractéristique d’un K espace vectoriel

CN : Si A est un sev de E alors…+ démo

théorème sur intersection de deux sev + démo

A ∪ B sev de E ?

en général non => on ne peut pas montrer la stabilité par combinaison linéaire
En revanche : somme de 2 sev de E = plus petit sev de E contenant A ∪ B

def combinaison linéaire de vecteurs + notation + théorème sur CL (démo ?)

def famille génératrice de E

famille génératrice de R³ ?

{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ou {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}