Einführung in die formale Aussagen- und Prädikatenlogik: Weitere Ansätze

Karteikarten zu weiteren Ansätzen der Logik: Minimale Junktorenbasen, Sheffer-Strich, Prädikatenlogik zweiter Ordnung, Boolesche Algebra, dreiwertige und mehrwertige Logik, Fuzzy-Logik, Modallogik, parakonsistente Logik und Quantenlogik.

Ausschliessendes Oder (XOR) in der formalen Aussagenlogik

Eine logische Verknüpfung mit der Bedeutung „dieses oder jenes, aber nicht beides“ („entweder … oder“). Die Wahrheitstabelle liefert den Wert wahr ($W$) genau dann, wenn genau eine Teilkomponente wahr ist, und falsch ($F$), wenn beide wahr oder beide falsch sind.

In der Aussagenlogik wird kein eigener Operator dafür benötigt, weil sich das ausschliessende Oder vollständig mit den fünf Standardoperatoren abbilden lässt.

Semantische Äquivalenz des ausschliessenden Oders

Das ausschliessende Oder ist semantisch äquivalent zur Negation des Bikonditionals: $\sim(x \leftrightarrow y)$. Da die Wahrheitstabelle von $\sim(x \leftrightarrow y)$ in jeder Belegung dieselben Wahrheitswerte ergibt wie die Tabelle für „entweder … oder“, liefert der Ausdruck bei jeder logischen Analyse das identische Resultat.

Reduktion auf eine minimale Basis von Operatoren

Aufgrund der Gültigkeit von Äquivalenzregeln lassen sich die fünf Standardoperatoren ohne Aussageverlust reduzieren:

• Reduktion auf 3 Operatoren: $\sim$, $\&$, $\lor$ (Verzicht auf $\rightarrow$ und $\leftrightarrow$).

• Reduktion auf 2 Operatoren: Entweder $\sim$ und $\&$, oder $\sim$ und $\lor$, oder $\sim$ und $\rightarrow$.

Sheffer-Strich ($\mid$ )

Auch als NAND-Operator („not and“) bezeichneter Junktor, der semantisch äquivalent zu $\sim(x \ \& \ y)$ ist. Der Sheffer-Strich stellt eine minimale Basis aus einem einzigen Junktor dar: Man kann allein mit $\mid$ ausnahmslos alle Operationen der formalen Aussagenlogik lückenlos durchführen.

Negation im Sheffer-Kalkül

Die Darstellung der Negation $\sim x$ allein mithilfe des Sheffer-Strichs in der Form $x \mid x$. Da $x \mid x$ der Aussage $\sim(x \ \& \ x)$ entspricht, resultiert nach der Idempotenz exakt $\sim x$.

Konjunktion im Sheffer-Kalkül

Die Darstellung einer Konjunktion $x \ \& \ y$ allein mithilfe des Sheffer-Strichs in der Form $(x \mid y) \mid (x \mid y)$. Da $(x \mid y)$ für $\sim(x \ \& \ y)$ steht, negiert die Verknüpfung dieses Zwischenergebnisses mit sich selbst den Ausdruck erneut und ergibt $x \ \& \ y$.

Disjunktion im Sheffer-Kalkül

Die Darstellung einer Disjunktion $x \lor y$ allein mithilfe des Sheffer-Strichs in der Form $(x \mid x) \mid (y \mid y)$. Begründung: $(x \mid x)$ entspricht $\sim x$ und $(y \mid y)$ entspricht $\sim y$. Der verbindende Sheffer-Strich ergibt $\sim(\sim x \ \& \ \sim y)$, was nach De Morgan semantisch äquivalent zu $x \lor y$ ist.

Praktischer Nutzen versus theoretische Sparsamkeit beim Sheffer-Strich

Obwohl der Sheffer-Strich als alleiniger Operator ausreicht, führt die Umwandlung komplexer Aussagen wie $P \rightarrow (Q \leftrightarrow R)$ zu langen, unübersichtlichen Ketten von Sheffer-Strichen. Ähnlich wie der Computer intern nur mit Einsen und Nullen rechnet, die Tastatur aber viele Zeichen bereitstellt, ist das praktische Arbeiten mit fünf Operatoren wesentlich einfacher.

Unterschied zwischen Prädikatenlogik erster und zweiter Ordnung

In der Prädikatenlogik erster Ordnung gibt es Individuenkonstanten, Individuenvariablen und Eigenschaftskonstanten, weshalb nur über Individuen quantifiziert werden darf ($\forall x$, $\exists x$). In der Prädikatenlogik zweiter Ordnung darf zusätzlich über Eigenschaftsvariablen bzw. Prädikatenvariablen quantifiziert werden ($\forall X$, $\exists X$).

Quantifizierung über Eigenschaften in der Prädikatenlogik zweiter Ordnung

Ermöglicht Aussagen wie „Stan besitzt jede Eigenschaft, die Oliver hat“, die in erster Ordnung nicht darstellbar sind:

• $\forall X [Xs \rightarrow Xo]$ („Für jede Eigenschaft $X$ gilt: Hat Stan $X$, dann hat auch Oliver $X$“).

• Mit Individuenquantor: $\exists y \forall X [Xs \rightarrow Xy]$ („Es gibt ein $y$, sodass für jede Eigenschaft $X$ gilt: Hat Stan $X$, besitzt auch $y$ diese Eigenschaft“; trivialerweise schliesst $y$ Stan selbst mit ein).

Grundprinzipien der booleschen Algebra

Ein erstes mathematisches System zur Formalisierung der Logik mit Symbolen statt Worten:

• Zahlenwerte: Genau zwei Zahlen, $1$ (wahr) und $0$ (falsch).

• Operatoren: Multiplikation ($\times$), Addition ($+$) und Negation ($-$).

• Gleichheitszeichen ($=$): Zeigt semantische Äquivalenz (denselben Wahrheitswert) an.

• Besonderheit: Die Unterscheidung zwischen Aussagenkonstanten ($P, Q$) und Wahrheitswerten ($1, 0$) entfällt; Symboltypen dürfen gemischt werden.

Boolesche Multiplikation ($\times$)

Die Entsprechung zur logischen Konjunktion ($\&$) in der booleschen Algebra mit folgenden Rechenregeln:

• $$1 \times 1 = 1$$

• $$1 \times 0 = 0$$

• $0 \times 0 = 0$ Das Ergebnis ist nur dann $1$ (wahr), wenn beide verknüpften Komponenten den Wert $1$ haben.

Boolesche Addition ($+$)

Die Entsprechung zur logischen Disjunktion ($\lor$) in der booleschen Algebra mit folgenden Rechenregeln:

• $$1 + 1 = 1$$

• $$1 + 0 = 1$$

• $0 + 0 = 0$ Ein höherer Wert als $1$ existiert im System nicht; sobald mindestens ein Summand $1$ ist, lautet das Ergebnis $1$.

Boolesche Negation ($-$) und Gleichungen

Die boolesche Negation kehrt Wahrheitswerte um: $-1 = 0$ und $-0 = 1$. [aus -0 wird dann also einfach 1] Semantische Äquivalenzen werden als Gleichungen abgebildet, z. B. wird eine Tautologie $P \lor \sim P$ zu $P + (-P) = 1$ und das de Morgansche Gesetz $\sim(P \lor Q) \leftrightarrow \sim P \ \& \ \sim Q$ zu $-(P + Q) = -P \times -Q$ .

Satz vom ausgeschlossenen Dritten (Tertium non datur)

Das klassische logische Prinzip, wonach jede Aussage zwingend entweder wahr ($1$) oder falsch ($0$) sein muss und dazwischen kein dritter Zustand existiert. Dieses Axiom beschränkt die formale Logik auf binäre Zustände und wird von alternativen Logiksystemen gezielt aufgebrochen.

Dreiwertige Logik

Ein logisches System, das neben den Wahrheitswerten wahr ($1$) und falsch ($0$) einen dritten Wahrheitswert „möglich“ ($\frac{1}{2}$) einführt. Dieser Wert wird Aussagen zugewiesen, deren Wahrheit noch unbewiesen oder zukünftig offen ist (z. B. „Morgen wird es in Bern regnen“ oder „Es gibt Leben auf anderen Planeten“).

Mehrwertige Logik

Ein System, das mehr als einen Zwischenwert zwischen $0$ und $1$ zulässt, beispielsweise $11$ diskrete Werte in $\frac{1}{10}$-Schritten ($0, \frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \dots, \frac{9}{10}, 1$). Berechnungen basieren auf festen mathematischen Regeln, während die inhaltliche Bedeutung der einzelnen Abstufungen offen und interpretationsfähig bleibt.

Berechnungsregeln in der mehrwertigen Logik ($\sim$, $\&$, $\lor$)

Die Festlegung der Wahrheitswertberechnung für mehrwertige Ausdrücke:

• $\sim$-Regel: $\sim x = 1 - x$
• $\&$ -Regel: $x \ \& \ y = \min(x, y)$ (wähle den kleineren Wert)
• $\lor$-Regel: $x \lor y = \max(x, y)$ (wähle den grösseren Wert) Beispiel: $\frac{3}{10} \ \& \ \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$, während $\frac{3}{10} \lor \frac{7}{10} = \frac{7}{10}$.

Berechnung von Implikation ($\rightarrow$) und Äquivalenz ($\leftrightarrow$) in der mehrwertigen Logik

Werden über klassische Äquivalenzregeln auf die arithmetischen Grundregeln zurückgeführt:

• Implikation (Impl): $x \rightarrow y = \sim x \lor y = \max(1 - x, y)$
• Bikonditional (Äquiv): $x \leftrightarrow y = (x \rightarrow y) \ \& \ (y \rightarrow x) = \min(\max(1 - x, y), \max(1 - y, x))$.

Wahrscheinlichkeitstheorie versus mehrwertige Logik bei Zukunftsprognosen

Kritiker bezweifeln die Brauchbarkeit der mehrwertigen Logik für Zukunftsaussagen: Beträgt die Regenwahrscheinlichkeit in Bern $\frac{3}{10}$ und in Thun $\frac{7}{10}$, berechnet die Wahrscheinlichkeitstheorie für Regen an beiden Orten $\frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{21}{100} = 0.21$. Die mehrwertige Logik würde über die $\&$-Regel fälschlicherweise das Minimum von $\frac{3}{10} = 0.3$ ansetzen.

Fuzzy-Logik als Theorie teilweiser Wahrheit

Eine Erweiterung der mehrwertigen Logik zur Beschreibung abgestufter bzw. teilweiser Wahrheiten bei Begriffen ohne scharfe Trennlinien (z. B. gross–klein, heiss–kalt). Im Gegensatz zu diskreten Zwischenstufen sind in der Fuzzy-Logik sämtliche reellen Zwischenwerte im kontinuierlichen Intervall von $0$ (vollständig falsch) bis $1$ (vollständig wahr) zulässig.

Kompromissfindung in der Fuzzy-Logik (TV-Kauf-Beispiel)

Person A wünscht ein Gerät für $500$ Franken ($A(500) = 1, B(500) = 0$), Person B für $2000$ Franken ($A(2000) = 0, B(2000) = 1$). Bei beiden Extremen liefert die Konjunktion $A(x) \ \& \ B(x) = \min(A, B) = 0$. Ein Kompromissgerät für $1100$ Franken erhält von beiden Parteien eine Teilzustimmung von je $0.75$, wodurch $A(1100) \ \& \ B(1100) = 0.75 \ \& \ 0.75 = 0.75$ ein tragfähiges Optimum anzeigt.

Modaloperatoren ($\square$ und $\Diamond$)

Operatoren der Modallogik zur Beschreibung von Möglichkeitsformen:

• Notwendigkeitsoperator ($\square$): $\square x$ bedeutet „Es ist notwendig, dass $x$“ (z. B. $\square K$: „Notwendigerweise sind alle Kreise rund“).
• Möglichkeitsoperator ($\Diamond$): $\Diamond x$ bedeutet „Es ist möglich, dass $x$“ (z. B. $\Diamond K$: „Es ist möglich, dass Kreise rund sind“).

Wechselseitige Definition der Modaloperatoren

Die beiden Modaloperatoren lassen sich gegenseitig durcheinander und Negation definieren:

• $\square x \leftrightarrow \sim \Diamond \sim x$ („Notwendigerweise $x$ bedeutet: Es ist nicht möglich, dass nicht $x$“).
• $\Diamond x \leftrightarrow \sim \square \sim x$ („Möglich ist $x$ bedeutet: Es ist nicht notwendig, dass nicht $x$“; z. B. „Es ist möglich, dass die Erde eine Scheibe ist“ $\leftrightarrow$ „Es ist nicht notwendig, dass die Erde keine Scheibe ist“).

Kontingente versus notwendige Wahrheit in der Modallogik

Unterscheidung nach der Art des Zutreffens:

• Kontingente Wahrheit: Hängt von tatsächlichen Begebenheiten ab (z. B. $S$: „Gestern hat es in Bern geschneit“). Zwar faktisch wahr, aber nicht notwendig wahr ($\square S$ ist falsch, da anderes Wetter denkbar gewesen wäre).
• Notwendige Wahrheit: Eine Aussage, die aus rein logischer Notwendigkeit unter allen denkbaren Umständen wahr ist (z. B. die Tautologie $S \lor \sim S$); daher ist $\square(S \lor \sim S)$ stets wahr.

Parakonsistente Logik und Satz vom Widerspruch

Ein logisches System, das den klassischen Satz vom Widerspruch bricht. Aussagen können gleichzeitig wahr ($W$) und falsch ($F$) sein. Jede Aussage hat mindestens einen, unter Umständen aber zwei Wahrheitswerte ($W$ und $F$), wodurch ein Widerspruch der Form $x \ \& \ \sim x$ wahr sein darf.

Ungültigkeit des Disjunktiven Syllogismus in der parakonsistenten Logik

Der Disjunktive Syllogismus ($T \lor K, \sim T \vdash K$) verliert in der parakonsistenten Logik seine Gültigkeit: Wenn $\sim T$ zugleich wahr und falsch ist, kann die Prämisse $T \lor K$ wahr sein, selbst wenn die Konklusion $K$ rein falsch ist. Da beide Prämissen wahr sind, während die Konklusion falsch ist, bleibt der Schluss ungültig (Hermine-Beispiel: Turm oder Keller).

Quantenlogik und das Versagen der Distributionsregel

Ein auf die Quantenphysik bezogenes System, in dem zweiwertige Wahrheitswerte ($W, F$) gelten, aber klassische Äquivalenzregeln wie die Distribution zusammenbrechen: $T \ \& \ (L \lor R)$ ist nicht äquivalent zu $(T \ \& \ L) \lor (T \ \& \ R)$.

Gedankenexperiment der Quantenlogik (Teilchen unter zwei Schalen)

Ein subatomares Teilchen liegt auf dem Tisch ($T$) unter der linken ($L$) oder rechten ($R$) Schale. Die Aussage $T \ \& \ (L \lor R)$ („Das Teilchen befindet sich unter einer der beiden Schalen“) ist wahr. Die distributiv umgeformte Aussage $(T \ \& \ L) \lor (T \ \& \ R)$ ist jedoch falsch, da sich das quantenmechanische Teilchen vor einer Messung weder definitiv unter der linken noch definitiv unter der rechten Schale befindet.