Istituzioni di Matematica e Algebra Lineare

Flashcard di vocabolario complete per il ripasso dei concetti di base di teoria degli insiemi, relazioni, funzioni, strutture algebriche, geometria analitica vettoriale, algebra matriciale, sistemi lineari, spazi vettoriali e numeri complessi.

Insieme

Collezione di oggetti che condividono una caratteristica comune.

Cardinalità

Il numero di elementi contenuti all'interno di un insieme, indicato con $|A|$.

Prodotto cartesiano ($A \times B$)

L'insieme costituito da tutte le coppie ordinate $(a, b)$ tali che $a \in A$ e $b \in B$.

Insieme delle parti ($\mathcal{P}(A)$)

La collezione di tutti i possibili sottoinsiemi di un insieme $A$. Per un insieme finito di cardinalità $n$, la cardinalità dell'insieme delle parti è $|\mathcal{P}(A)| = 2^n$.

Insiemi disgiunti

Due insiemi la cui intersezione è vuota, ovvero $A \cap B = \emptyset$.

Relazione tra due insiemi

Un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano $A \times B$, indicato con $a \sim b$ oppure $aRb$.

Relazione di equivalenza

Una relazione definita su un insieme $A$ che soddisfa contemporaneamente le proprietà riflessiva ($a \sim a$ per ogni $a \in A$), simmetrica ($a \sim b \iff b \sim a$) e transitiva ($a \sim b$ e $b \sim c \implies a \sim c$).

Classe di equivalenza ($[a]$)

Il sottoinsieme formato da tutti gli elementi $a' \in A$ che sono in relazione con $a$, cioè $[a] = \{a' \in A \mid a' \sim a\}$; l'elemento $a'$ è detto rappresentante della classe.

Insieme quoziente ($A/\sim$)

L'insieme costituito dalla totalità delle classi di equivalenza generate dalla relazione $\sim$ su un insieme $A$.

Dimostrazione per assurdo

Tipologia di dimostrazione in cui si nega la tesi da dimostrare per dedurre logicamente una contraddizione, confermando così la validità della tesi di partenza.

Dimostrazione contronominale

Metodo dimostrativo fondato sull'equivalenza logica tra un'implicazione e la sua contronominale: $(P \implies Q) \iff (\neg Q \implies \neg P)$.

Congruenza modulo $p$

Relazione su $\mathbb{Z}$ per cui due interi $n$ e $m$ sono in relazione ($n \sim_p m$ o $n \equiv m \pmod p$) se e solo se ammettono lo stesso resto nella divisione per $p$.

Insieme $\mathbb{Z}_p$

L'insieme quoziente $\mathbb{Z}/\sim_p$ formato dalle distinte classi di resto modulo $p$, ossia $\{[0], [1], \dots, [p-1]\}$.

Funzione

Una relazione tra due insiemi $A$ e $B$ che associa ad ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $B$.

Insieme immagine ($\text{Im}(f)$)

Il sottoinsieme del codominio formato da tutti gli elementi che sono immagine di almeno un elemento del dominio: $\text{Im}(f) = \{b \in B \mid b = f(a), a \in A\} \subseteq B$.

Funzione iniettiva

Una funzione $f: A \to B$ per cui ogni elemento di $B$ è immagine di al massimo un elemento di $A$, ovvero se $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$.

Funzione suriettiva

Una funzione $f: A \to B$ per cui ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$, cioè l'insieme immagine coincide con l'intero codominio.

Funzione biunivoca (o biettiva)

Una funzione contemporaneamente iniettiva e suriettiva, in cui ogni elemento del codominio è immagine di un unico elemento del dominio; è condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità.

Controimmagine ($f^{-1}(b)$)

Dato un elemento $b \in B$, è l'insieme di tutti gli elementi del dominio che mappano in esso: $f^{-1}(b) = \{a \in A \mid f(a) = b\}$.

Successione

Una funzione definita dai numeri naturali ai numeri reali ($f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$), che può essere specificata in forma esplicita o per ricorsione.

Operazione binaria interna

Una funzione definita dal prodotto cartesiano di un insieme per se stesso nell'insieme stesso, ovvero $*: A \times A \to A$.

Gruppo

Una coppia $(G, \cdot)$ formata da un insieme non vuoto $G$ e un'operazione binaria chiusa che rispetta l'associatività, l'esistenza dell'elemento neutro e l'esistenza dell'inverso per ciascun elemento.

Gruppo abeliano

Un gruppo in cui l'operazione binaria soddisfa anche la proprietà commutativa ($g_1 \cdot g_2 = g_2 \cdot g_1$ per ogni $g_1, g_2 \in G$).

Anello

Una tripla $(A, +, \cdot)$ in cui $(A, +)$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $0$, $(A \setminus \{0\}, \cdot)$ è un semigruppo e vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

Campo

Una tripla $(\mathbb{K}, +, \cdot)$ in cui $(\mathbb{K}, +)$ e $(\mathbb{K} \setminus \{0\}, \cdot)$ sono entrambi gruppi abeliani (rispettivamente con neutro $0$ e $1$) e vale la proprietà distributiva.

Vettore geometrico

Un segmento orientato dello spazio affine, caratterizzato da modulo (lunghezza), direzione e verso.

Versore

Un vettore avente lunghezza unitaria ($|\vec{v}| = 1$).

Prodotto scalare

Operazione tra due vettori il cui risultato è un numero scalare (operazione non chiusa nello spazio dei vettori).

Prodotto vettoriale

Operazione definita solo nello spazio $V^3$ tra due vettori il cui risultato è un vettore ortogonale ad entrambi.

Base di coordinate nel piano ($B = \{\hat{i}, \hat{j}\}$)

Insieme di vettori che permette di stabilire una mappa biettiva $\Phi: V^2 \to \mathbb{R}^2$, associando a ciascun vettore applicato le proprie coordinate cartesiane.

Vettore direttore di una retta

Un vettore non nullo che definisce la direzione assunta da una retta nelle sue equazioni parametriche.

Giacitura di un piano

Lo spazio generato dai due vettori direttori linearmente indipendenti che stabiliscono l'inclinazione e la direzione del piano nello spazio.

Sistema lineare omogeneo

Un sistema di equazioni lineari scritto nella forma matriciale $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$, avente nullo il vettore dei termini noti.

Sistema lineare compatibile

Un sistema di equazioni lineari che ammette almeno una soluzione; in caso contrario si dice impossibile.

Matrice triangolare superiore

Una matrice quadrata i cui elementi al di sotto della diagonale principale sono tutti pari a zero, ossia $a_{ij} = 0$ per ogni $i > j$.

Criterio di risolubilità per sistemi triangolari superiori

Teorema che afferma che un sistema lineare triangolare superiore di $n$ equazioni in $n$ incognite ammette una e una sola soluzione se e solo se tutti gli elementi della diagonale principale sono diversi da zero.

Prodotto tra matrici (righe per colonne)

Operazione tra una matrice $A \in M_{m,n}(\mathbb{K})$ e una matrice $B \in M_{n,p}(\mathbb{K})$ il cui risultato è una matrice $C \in M_{m,p}(\mathbb{K})$ definita da $c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$.

Matrice trasposta ($A^T$)

La matrice ottenuta scambiando ordinatamente le righe con le colonne, tale per cui $(a_{ij})^T = a_{ji}$.

Matrice simmetrica

Una matrice quadrata che coincide con la propria trasposta, ovvero $A = A^T$.

Matrice invertibile

Una matrice quadrata $A \in M_n(\mathbb{K})$ per la quale esiste una matrice $A^{-1} \in M_n(\mathbb{K})$ tale che $A \cdot A^{-1} = I_n$.

Spazio vettoriale

Un insieme non vuoto $V$ munito di somma interna e moltiplicazione per scalare su un campo $\mathbb{K}$ che rispetta gli assiomi di chiusura, commutatività, associatività, elemento neutro, elemento opposto e distributività.

Sottospazio vettoriale

Un sottoinsieme non vuoto $W \subseteq V$ chiuso rispetto alla somma di vettori ($w_1 + w_2 \in W$) e al prodotto per scalare ($\lambda w \in W$), contenente necessariamente il vettore nullo.

Sottospazio generato ($\text{Span}$)

L'insieme formato da tutte le combinazioni lineari dei vettori $\{v_1, \dots, v_k\}$, indicato come $\text{Span}\{v_1, \dots, v_k\} = \left\{\sum_{i=1}^k a_i v_i \mid a_i \in \mathbb{K}\right\}$.

Teorema di compatibilità dei sistemi lineari

Un sistema lineare $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ ammette soluzione se e solo se il vettore dei termini noti $\mathbf{b}$ appartiene allo spazio generato dalle colonne di $A$, ovvero $\mathbf{b} \in \text{Span}(A^1, \dots, A^n)$.

Vettori linearmente indipendenti

Un insieme di vettori $\{v_1, \dots, v_k\}$ per cui l'uguaglianza $a_1 v_1 + \dots + a_k v_k = \mathbf{0}$ implica necessariamente che tutti i coefficienti siano nulli ($a_1 = \dots = a_k = 0$).

Risolubilità del sistema omogeneo ed indipendenza lineare

Il sistema omogeneo $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ ammette come unica soluzione la soluzione banale se e solo se le colonne della matrice $A$ sono linearmente indipendenti.

Base di uno spazio vettoriale

Un insieme ordinato di vettori linearmente indipendenti che generano l'intero spazio vettoriale.

Base canonica di $\mathbb{R}^n$

La base $\{e_1, \dots, e_n\}$ formata dai vettori colonna contenenti il valore $1$ nella rispettiva posizione identificativa e $0$ in tutte le altre.

Dimensione di uno spazio vettoriale

Il numero di elementi presenti in una qualsiasi base dello spazio vettoriale, indicato con $\dim(V)$.

Coordinate polari nel piano complesso

Coppia formata dal modulo $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ e dall'angolo $\theta$, legata alle coordinate cartesiane dalle relazioni $x = \rho \cos\theta$ e $y = \rho \sin\theta$.

Unità immaginaria ($i$)

Il numero complesso identificato dal punto $(0, 1)$ in $\mathbb{R}^2$, la cui proprietà caratteristica è $i^2 = (0, 1)^2 = (-1, 0) = -1$.