Chapitre 7 : Oscillateurs amortis

Fiches de vocabulaire et définitions essentielles portant sur les oscillateurs amortis (mécaniques et électriques), les formes canoniques et les différents régimes d'amortissement (apériodique, critique, pseudo-périodique).

Force de frottement fluide (mécanique)

Force modélisée par $\vec{f} = -\alpha \vec{v}$, opposée à la vitesse, responsable de l'amortissement du système mécanique.

Équation différentielle du système masse-ressort amorti

Équation du mouvement obtenue par projection du principe fondamental de la dynamique : $\ddot{X} + \frac{\alpha}{m}\dot{X} + \frac{k}{m}X = 0$, avec $X = x - l_0$.

Équation différentielle du circuit RLC série

Équation différentielle régissant la tension $u_c$ aux bornes du condensateur : $\ddot{u}_c + \frac{R}{L}\dot{u}_c + \frac{1}{LC}u_c = 0$.

Forme canonique de l'équation différentielle d'un oscillateur amorti

Écriture standard de l'équation différentielle du second ordre : $\ddot{X} + \frac{\omega_0}{Q}\dot{X} + \omega_0^2 X = 0$, où $\omega_0$ est la pulsation propre et $Q$ le facteur de qualité.

Équation caractéristique

Équation algébrique du second degré associée à l'équation différentielle canonique : $r^2 + \frac{\omega_0}{Q}r + \omega_0^2 = 0$.

Discriminant $\Delta$ de l'équation caractéristique

Grandeur définie par $\Delta = \left(\frac{\omega_0}{Q}\right)^2 - 4\omega_0^2$, dont le signe dépend directement de la valeur du facteur de qualité $Q$ par rapport à $\frac{1}{2}$.

Régime apériodique

Régime obtenu lorsque $\Delta > 0$ (soit $Q < \frac{1}{2}$), caractérisé par deux racines réelles distinctes et une solution de la forme $x(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}$ sans oscillations.

Régime critique

Régime obtenu lorsque $\Delta = 0$ (soit $Q = \frac{1}{2}$), caractérisé par une racine double $r_0 = -\omega_0$ et une solution de la forme $x(t) = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}$.

Régime pseudo-périodique

Régime obtenu lorsque $\Delta < 0$ (soit $Q > \frac{1}{2}$), caractérisé par des racines complexes conjuguées et des oscillations amorties de la forme $x(t) = e^{-\frac{\omega_0}{2Q}t}[A\cos(\Omega t) + B\sin(\Omega t)]$.

Pseudo-pulsation ($\Omega$)

Pulsation des oscillations en régime pseudo-périodique, définie par $\Omega = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\frac{\omega_0}{2Q}\right)^2}$.

Quelle est l'expression vectorielle de la force de frottement fluide linéaire ?

$\vec{f} = -\alpha \vec{v}$, une force directement opposée au vecteur vitesse responsable de l'amortissement du système mécanique.

Sous quelle condition sur le facteur de qualité $Q$ le système est-il en régime apériodique ?

$Q < \frac{1}{2}$, ce qui équivaut à un discriminant d'équation caractéristique strictement positif ($\Delta > 0$).

Quelle est la solution générale de l'équation différentielle pour un régime pseudo-périodique ($Q > \frac{1}{2}$) ?

$x(t) = e^{-\frac{\omega_0}{2Q}t}[A\cos(\Omega t) + B\sin(\Omega t)]$, où $A$ et $B$ sont des constantes d'intégration réelles fixées par les conditions initiales.

Sous quelle condition sur $Q$ obtient-on un régime critique et quelle est la forme de sa solution $x(t)$ ?

La condition est $Q = \frac{1}{2}$ (soit $\Delta = 0$), et la solution générale est $x(t) = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}$ avec $A$ et $B$ des constantes fixées par les conditions initiales.

Quelle est la formule de la pseudo-pulsation $\Omega$ en fonction de $\omega_0$ et de $Q$ ?

$$\Omega = \sqrt{\omega<em>0^2 - \left(\frac{\omega</em>0}{2Q}\right)^2}$$

Quelle est la forme canonique de l'équation différentielle d'un oscillateur amorti du second ordre ?

$\ddot{X} + \frac{\omega<em>0}{Q}\dot{X} + \omega</em>0^2 X = 0$, où $\omega_0$ est la pulsation propre et $Q$ est le facteur de qualité.

Quelle est l'équation différentielle régissant la tension $u_c$ aux bornes du condensateur dans un circuit RLC série ?

$$\ddot{u}<em>c + \frac{R}{L}\dot{u}</em>c + \frac{1}{LC}u_c = 0$$