Probabilités et Fiabilité - Cartes de Vocabulaire

Cartes mémoire de vocabulaire portant sur le cours de probabilités élémentaires, variables aléatoires réelles, lois usuelles (finies, infinies discrètes, continues), théorèmes limites et fiabilité des systèmes.

Expérience aléatoire

Une expérience dont les résultats dépendent au moins en partie du hasard.

Éventualité

Un résultat possible d'une expérience aléatoire.

Univers $\Omega$

L'ensemble de toutes les éventualités associées à une expérience aléatoire.

Événement

Toute partie ou sous-ensemble de l'univers $\Omega$.

Événements incompatibles

Deux événements $E$ et $F$ qui ne peuvent pas se réaliser simultanément, c'est-à-dire $E \cap F = \emptyset$.

Système complet d'événements

Une famille d'événements non vides, deux à deux incompatibles, dont la réunion est égale à l'univers $\Omega$.

Équiprobabilité

Situation dans laquelle tous les événements élémentaires d'un univers fini ont la même probabilité de se réaliser.

Probabilité conditionnelle

La probabilité que l'événement $A$ se réalise sachant que l'événement $B$ est réalisé, définie par $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ avec $P(B) \neq 0$.

Indépendance de deux événements

Propriété de deux événements $A$ et $B$ vérifiant la relation $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Formule des probabilités totales

Formule calculant $P(A)$ par la somme $\sum_{i=1}^n P(A \cap E_i)$ pour une famille $(E_i)_{1 \le i \le n}$ formant un système complet d'événements.

Formule de Bayes

Formule d'inversion des probabilités conditionnelles donnée par $P(E_i|A) = \frac{P(A|E_i)P(E_i)}{\sum_{j=1}^n P(A|E_j)P(E_j)}$ pour un système complet $(E_i)$.

Variable Aléatoire Réelle (V.A.R.)

Une application $X$ définie de l'univers $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui associe un nombre réel à chaque éventualité.

Univers image $X(\Omega)$

L'ensemble de toutes les valeurs réelles que peut prendre une variable aléatoire $X$.

Fonction de répartition

La fonction $F: \mathbb{R} \rightarrow [0, 1]$ définie pour toute V.A.R. $X$ par $F(x) = P(X \le x)$.

Espérance $E(X)$

La valeur moyenne théorique des valeurs prises par une variable aléatoire $X$, pondérées par leurs probabilités respectives.

Théorème de transfert

Théorème permettant de calculer l'espérance de $Y = f(X)$ sans déterminer la loi de $Y$, à l'aide de la loi de $X$.

Variance $V(X)$

Indicateur de la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de sa moyenne, défini par $V(X) = E((X - E(X))^2)$.

Théorème de König

Relation simplifiée de calcul de la variance d'une variable aléatoire : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.

Écart-type $\sigma(X)$

Mesure de la dispersion définie comme la racine carrée positive de la variance, $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Loi de Bernoulli

Loi de probabilité d'une V.A.R. modélisant une épreuve à deux issues : la valeur $1$ (succès) avec probabilité $p$ et la valeur $0$ (échec) avec probabilité $1-p$.

Loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$

Loi de probabilité discrète comptant le nombre de succès dans une répétition de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$.

Loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$

Loi discrète sur $\mathbb{N}$ modélisant le nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps donné avec un taux moyen $\lambda$.

Densité de probabilité

Fonction $f \ge 0$ intégrable sur $\mathbb{R}$ dont l'intégrale totale vaut $1$, servant à définir la loi d'une variable aléatoire continue.

Loi uniforme continue sur $[a, b]$

Loi continue dont la densité est constante $f(t) = \frac{1}{b-a}$ sur l'intervalle $[a, b]$ et nulle ailleurs.

Loi exponentielle $\mathcal{E}(\mu)$

Loi continue à densité $f(t) = \mu e^{-\mu t}$ ($t \ge 0$) utilisée pour modéliser une durée de vie sans vieillissement.

Loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$

Loi continue centrale en statistiques, de densité symétrique en cloche, caractérisée par son espérance $\mu$ et son écart-type $\sigma$.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité majorant la probabilité qu'une V.A.R. s'écarte de son espérance d'au moins $\varepsilon > 0$ : $P(|X - E(X)| > \varepsilon) \le \frac{V(X)}{\varepsilon^2}$.

Loi faible des grands nombres

Théorème affirmant que la moyenne empirique de $n$ V.A.R. indépendantes et de même loi converge en probabilité vers leur espérance théorique $\mu$.

Théorème Central Limit (TCL)

Théorème établissant que la somme ou la moyenne de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi converge en loi vers une loi normale quand $n \rightarrow +\infty$.

Fonction de fiabilité $R(t)$

Probabilité qu'un équipement accomplisse sa fonction sans défaillance au-delà de l'instant $t$, égale à $R(t) = P(T > t) = 1 - F(t)$.

Fonction de défaillance $F(t)$

Probabilité qu'un dispositif subisse une défaillance avant l'instant $t$, définie par $F(t) = P(T \le t)$.

Taux de défaillance $\lambda(t)$

Indicateur caractérisant le taux instantané de panne d'un équipement au temps $t$.

MTBF

Moyenne des temps de bon fonctionnement entre deux défaillances (Mean Time Between Failures), égale à $\frac{1}{\lambda}$ lorsque le taux de défaillance $\lambda$ est constant.

Courbe en baignoire

Graphe classique du taux de défaillance $\lambda(t)$ au cours du temps comprenant la période de jeunesse, la période de maturité (taux constant) et la période de vieillissement.

Fiabilité d'un système en série

La fiabilité globale d'un ensemble de $n$ composants connectés en série est égale au produit de leurs fiabilités individuelles : $R_S = \prod_{i=1}^n R_i$.

Fiabilité d'un système en parallèle

La fiabilité globale d'un ensemble de $n$ composants montés en parallèle est donnée par la formule $R_S = 1 - \prod_{i=1}^n (1 - R_i)$.