Clase 2: Determinantes y Rango de una Matriz

Flashcards con términos clave y definiciones conceptuales sobre determinantes, propiedades, cálculo de la matriz inversa y rango de una matriz para la materia Matemática II.

Permutación

Cada uno de los arreglos o distintas formas de ordenar los $n$ primeros números naturales de un conjunto $A = \{1, 2, 3, \dots, n\}$.

Inversión de una permutación

Ocurre cuando dos elementos de una permutación no se encuentran en su orden natural.

Permutación de clase par

Permutación en la que el número total de inversiones entre sus elementos es un número par.

Permutación de clase impar

Permutación en la que el número total de inversiones entre sus elementos es un número impar.

Polinomio homogéneo

Polinomio en el cual todos sus monomios tienen el mismo grado, el cual se calcula sumando los exponentes de sus variables.

Determinante de una matriz cuadrada

Polinomio homogéneo de grado $n$ cuyos monomios se forman multiplicando elementos tomando uno de cada línea de la matriz, anteponiendo signo positivo si la permutación de subíndices fila y columna es de la misma clase, y signo negativo si es de distinta clase.

Regla de Sarrus

Regla práctica para calcular el determinante de matrices de orden $3 \times 3$, sumando el producto de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas con el extremo opuesto, y restando el producto de los elementos de la diagonal secundaria y sus paralelas.

Determinante de la matriz producto

Propiedad que establece que para matrices cuadradas $A$ y $B$ de orden $n$, el determinante del producto es igual al producto de sus determinantes: $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$.

Determinante de un producto por escalar ($k \cdot A$)

Propiedad que establece que si $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$ y $k$ es un escalar, entonces $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$.

Determinante de la matriz inversa

Propiedad que establece que si $A$ es una matriz invertible, el determinante de su inversa es el recíproco de su determinante: $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$.

Determinante de la matriz transpuesta

Propiedad que establece que el determinante de una matriz $A$ es igual al determinante de su matriz transpuesta: $|A| = |A^T|$.

Menor complementario ($M_{ij}$)

Determinante que resulta de suprimir la fila $i$ y la columna $j$ del elemento $a_{ij}$ en una matriz cuadrada.

Cofactor o Adjunto ($C_{ij}$)

Valor del menor complementario $M_{ij}$ multiplicado por $(-1)^{i+j}$, es decir, $C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$.

Matriz Cofactor ($Cof(A)$)

Matriz obtenida al reemplazar cada elemento $a_{ij}$ de la matriz $A$ por su respectivo cofactor $C_{ij}$.

Matriz Adjunta ($Adj(A)$)

Matriz transpuesta de la matriz cofactor de $A$, simbolizada como $Adj(A) = [Cof(A)]^T$.

Matriz inversa por la matriz adjunta

Método para calcular la inversa de una matriz cuadrada $A$ mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{Adj(A)}{|A|}$, siempre que $|A| \neq 0$.

Regla de Laplace

Método que permite calcular el determinante de orden $n$ sumando los productos de cada elemento de una fila o columna seleccionada por sus respectivos cofactores.

Regla de Chío

Método práctico para reducir el orden de un determinante de $n$ a $n-1$ utilizando un elemento pivote no nulo y calculando los transformados mediante la regla del rectángulo.

Submatriz

Matriz obtenida a partir de una matriz $A$ tras eliminar una o más de sus filas y/o columnas.

Rango de una matriz ($r(A)$)

El mayor orden de los determinantes no nulos que se pueden obtener de la matriz $A$ o de sus submatrices.