bistat minimumok

Mikor beszélünk n elem ismétlés nélküli permutációiról és mi ezek száma?

Ha az n különböző elemet az összes lehetséges módon sorrendben sorrendbe állítjuk. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma:

𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2). . .2 ⋅ 1

Definiálja n elem k-ad rendű ismétlés nélküli kombinációit szavakkal!

n különböző elemből k elemet minden lehetséges módon kiválasztunk a sorrendre való tekintet nélkül.

Mit ad meg az (𝑛^𝑘)kifejezés (képlettel és kombinatorikai szempontból)?

Adja meg a nominális skála definícióját és írjon rá egy példát!

A nominális skála egymást kölcsönösen kizáró kategóriák listája, amelyekbe az eseményeket osztályozhatjuk, de nem rendezhetők sorrendbe. Pl. beteg neme lehet férfi vagy nő.

Adja meg az ordinális skála definícióját és írjon rá egy példát!

Az ordinális skála egy kategória lista (a nominális skálához hasonlóan), amelynél az egyes kategóriákat a hozzájuk rendelt számértékek vagy a kategóriák nevei alapján sorrendbe lehet rendezni. Pl. egy gyógyszeres terápia hatásossága lehet rossz, közepes vagy jó; egy daganatos betegséget előrehaladottsága alapján osztályozhatnak I-IV. stádiumokba.

Adja meg az intervallumskála definícióját, és írjon rá egy példát!

Az intervallumskála egy olyan kvantitatív skálatípus, amelyen a megfigyelésekhez rendelt számértékek valós kvantitatív jelentéssel bírnak. Két intervallum skálán mért megfigyelés közötti különbség szintén kvantitatív jelentéssel bír, de közöttük az osztás nem vezet értelmes eredményre az objektív zéruspont hiánya miatt. Pl. hőmérséklet mérése Celsius-skálán. A 20 C nem jelent kétszer akkora hőmérsékletet, mint a 10 C.

Adja meg az arányskála definícióját, és írjon rá egy példát!

Az arányskála olyan kvantitatív skálatípus, amelyen a megfigyelésekhez rendelt számértékek valós kvantitatív jelentéssel bírnak. Két megfigyelés közötti különbség és hányadosa szintén kvantitatív jelentéssel bír az objektív zéruspont megléte miatt. Pl. testmagasság, vércukorszint mérése, hőmérséklet mérése a Kelvin skálán. 400 K kétszer akkora hőmérsékletet jelent, mint 200 K.

Hogyan származtatható egy esemény valószínűsége a relatív gyakoriságából?

Egy esemény bekövetkezési valószínűsége az a szám, mely körül a k/n relatív gyakoriság ingadozik (n a kísérletek száma, k az esemény bekövetkezési száma). Ha a kísérletek számát minden határon túl növeljük (n→végtelen), a relatív gyakoriság ingadozása elhanyagolhatóvá válik, és ezt az értéket az esemény valószínűségének nevezzük.

Mi a „klasszikus” valószínűség definíciója?

Ha egy kísérletnek N különböző, egymás kizáró és egyenlően valószínű kimenetele van, és ezek közül krendelkezik egy bizonyos E tulajdonsággal, akkor az E valószínűsége egyenlő: k/N.

Milyen értékeket vehet fel a (matematikai) valószínűség? Mennyi a biztos és a lehetetlen esemény valószínűsége?

A valószínűség egy 0 és 1 közötti szám lehet, pontosabban a valószínűség értéke a [0,1] zárt intervallumba esik. (Zárt intervallum, olyan intervallum, amelybe beletartoznak a határoló értékek is, a fenti esetben a 0 és 1 számok.)

Biztos esemény valószínűsége =1

Lehetetlen esemény valószínűsége = 0

Definiálja egy A esemény ellentett eseményét!

Az a B esemény, amely pontosan akkor következik be, ha A nem következik be és A + B = I, ahol I a biztos esemény.

Mi a kapcsolat egy A esemény és B ellentett eseményének valószínűségei között?

P(A) + P(B) = 1

Definiálja az A és B események összegét!

Az az A+B-vel jelölt esemény, amely pontosan akkor következik be, ha az A és B közül legalább az egyik Abekövetkezik.

Definiálja az A és B események szorzatát!

Az az AB-vel jelölt esemény, amely pontosan akkor következik be, ha A és B egyidejűleg bekövetkezik.

Adja meg az A és B események összegének valószínűségét!

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), ahol A+B az A és B események összege, AB az A és B események szorzata.

Mikor mondjuk, hogy az A és B események egymást kizárják?

ha AB = 0.

Mi a P(A|B) kifejezés jelentése?

P(A|B) az A esemény B-re vonatkoztatott feltételes valószínűsége, tehát az A bekövetkezése valószínűsége, ha csak azokat az eseteket vesszük számításba, amikor B bekövetkezik.

Mikor mondjuk az A és B eseményről, hogy egymástól függetlenek?

Ha a B esemény bekövetkezése nem befolyásolja az A esemény bekövetkezését és fordítva, azaz az A és B esemény akkor és csak akkor független egymástól, ha P(A|B)=P(A) vagy P(B|A)=P(B) vagy P(AB)=P(A)·P(B).

Halmazelméleti fogalmakkal adja meg

a. A és B esemény szorzatát,

b. A és B esemény összegét!

a. AB – az A és B események metszete (AnB)

b. A+B – az A és B események uniója (AUB)

Mi a valószínűségi változó definíciója?

Az eseménytér elemeihez egy-egy számértéket

rendelünk. Az így kapott változót, melynek értékei a

véletlentől függnek, valószínűségi változónak nevezzük.

Mikor mondjuk egy valószínűségi változóról, hogy

folytonos eloszlású?

Ha a valószínűségi változó tetszőleges értékeket vehet

fel egy meghatározott tartományon belül.

Definiálja az eloszlásfüggvényt egy mintára!

A minta eloszlásfüggvényének x helyen felvett értéke

megadja a minta azon elemeinek relatív gyakoriságát,

melyek értéke x-nél kisebb vagy egyenlő.

Definiálja egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét!

Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének x

helyen felvett értéke megadja, hogy a valószínűségi

változó milyen valószínűséggel vesz fel x-nél kisebb

vagy azzal egyenlő értéket.

Mi annak a valószínűsége, hogy egy folytonos

valószínűségi változó az (a,b) intervallumba esik?

Annak a valószínűsége, hogy egy folytonos

valószínűségi változó az (a,b) intervallumba esik

egyenlő a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének a

és b közötti grafikon alatti területével.

Definiálja egy diszkrét eloszlású ξ valószínűségi változó

várható értékét!

ahol xi a valószínűségi változó i-dik értéke, pi annak a

valószínűsége, hogy a valószínűségi változó az xi

értéket felveszi.

Adja meg egy diszkrét valószínűségi változó varianciáját

képlettel

Diszkrét valószínűségi változó varianciája

(szórásnégyzete):

ahol x, ill. xi a valószínűségi változó értékei, melyeket pi

valószínűséggel vesz fel,  a valószínűségi változó

várható értéke, n a valószínűségi változó lehetséges

értékeinek száma

Adja meg egy minta varianciáját képlettel!

ahol xi a minta elemei, 𝑥elemszáma.

a minta átlaga, n a minta

Definiálja egy valószínűségi változó varianciáját

szavakkal!

Valószínűségi változó varianciája (szórásnégyzete): a

valószínűségi változó várható értéktől való négyzetes

eltérésének várható értéke.

Definiálja egy minta varianciáját szavakkal!

Egy minta varianciája (szórásnégyzete): egy olyan

statisztika, amely a minta alapján becslést ad azon

valószínűségi változó vagy populáció varianciájára,

amiből a random mintát vették.

Írja le a centrális határeloszlás tételt!

Egy tetszőleges eloszlású,  átlagú és  szórású

populációból vett n elemű minták átlagai megközelítőleg

normális eloszlást követnek, ha n elég nagy. A

mintaátlagok eloszlásának várható értéke , szórása

(azaz a középérték közepes hibája) 𝜎⁄√𝑛 lesz.

Definiálja egy minta korrigált empirikus szórását (SD) és

a középértékének közepes hibáját (SEM) képlettel!

Mi a különbség egy minta standard deviációja (SD) és a

középérték közepes hibája (SEM) között? A választ

szavakkal fogalmazza meg, ne használjon

képleteket.

A minta SD-je becslést ad a populáció szórására. A

minta SEM értéke megadja a minta átlagának szórását,

tehát azt, hogy a minta átlag milyen pontosan közelíti a

populáció átlagát. Ha a minta elemszáma végtelenhez

tart, a minta SD-je közelíti a populáció szórását, a SEM

pedig nullához tart.

Definiálja a variációs koefficiens (CV, coefficient of variation) fogalmát szavakkal és képlettel!

A variációs koefficiens (CV) a standard deviáció százalékban kifejezett aránya az átlaghoz (𝑥) képest:

Mit nevezünk rendezett mintának?

A rendezett minta a minta elemeinek növekvő

számsorrendben való felsorolása.

Definiálja az empirikus várható érték (minta átlaga)

fogalmát képlettel és értelmezze a változókat!

ahol: xi a minta értékei, n a minta elemszáma.

Definiálja a minta mediánját!

A medián az az érték, amely a mintát két egyenlő

elemszámú részre osztja olyan módon, hogy a minta

azon elemeinek száma, melyek kisebbek vagy

egyenlőek a mediánnal egyenlő azon elemek számával,

amelyek nagyobbak vagy egyenlőek a mediánnal. Ha a

minta elemszáma páratlan, a medián a középső érték a

rendezett mintában. Ha a minta elemszáma páros, a

medián a két középső elem átlaga a rendezett mintában.

Definiálja az i-edik percentilis fogalmát!

Az i-edik percentilis az az érték, amelynél a minta

elemeinek i %-a kisebb vagy egyenlő.

Definiálja az első, második és harmadik kvartilis (Q1, Q2, Q3) fogalmát!

A Q1 a 25. percentilis, a Q2 az 50. percentilis (vagymedián), a Q3 a 75. percentilis.

Definiálja a minta móduszát!

A módusz az az érték, amely a legnagyobb gyakorisággal fordul elő a mintában.

Hogyan lehet egy hisztogramot elkészíteni?

Az x tengelyen az intervallumokat vagy a valószínűségi változó értékeit tüntetjük fel, melyek fölé olyan magas oszlopot rajzolunk , melynek magassága egyenlő az adott intervallumhoz vagy értékhez tartozó gyakorisággal vagy relatív gyakoriságga

Számolja ki az alábbi empirikus várható értékét, mediánját és adja meg móduszát (vizsgán és az írásbeli dolgozatban más adatsor szerepelhet)

Adatsor: 5,8,9,5,9,1,6,5

Számolja ki az alábbi adatsor korrigált empirikus szórásât (SD) és középérték közepes hibáját (SEM)! (vizsgán és az írásbeli dolgozatban más adatsor szerepelhet)

Adatsor: 3,7,5

Írja fel az n-ed rendű p paraméterű binomiális eloszlás kadik elemét és annak valószínűségi jelentését(k=0,1,2,...,n)!

Pn,k annak a valószínűsége, hogy egy két lehetséges
kimenetellel rendelkező kísérlet egymástól független nszeri végrehajtásakor az egyik kimenetel (esemény) kszor következik be.ahol n az elvégzett

kísérletek száma, k a p valószínűségű esemény

bekövetkezésének a száma.

Írja fel a λ paraméterű Poisson-eloszlás k-adik tagját és annak valószínűségi jelentését!

Pk annak a valószínűsége, hogy egy adott idő- vagy térintervallumon (hossz, terület, térfogat) belül pontosan k alkalommal következik be egy esemény, ha az esemény átlagosan λ alkalommal következik be.

Mennyi a λ paraméterű Poisson-eloszlás tagjainakösszege?

Milyen két, az eloszlást jellemző értékkel egyezik meg Poisson eloszlás λ paramétere?

A λ paraméter a Poisson eloszlás várható értékét és szórásnégyzetét jelenti.