Modèles factoriels, Nelson-Siegel et SSM

Quel est l’objectif d’un modèle factoriel ?

Réduire un grand nombre de variables à quelques facteurs communs qui expliquent leur dynamique.

Quelle est la forme générale du modèle linéaire de facteurs ?

Xₜ = a + B·Fₜ + uₜ.

Fₜ = facteurs communs ; B = sensibilités ; uₜ = partie résiduelle.

Que représente la matrice B dans un modèle factoriel ?

Les loadings ou betas : chaque coefficient mesure la sensibilité d’une variable à un facteur.

Quelle est la formule du beta OLS dans une régression d’un actif sur un indice ?

β̂_OLS = Cov(r, rᴵ) / Var(rᴵ)

où r est le rendement de l’actif et rᴵ le rendement de l’indice.

Quelle hypothèse importante fait un beta OLS classique ?

β̂_OLS = Cov(r, rᴵ) / Var(rᴵ)

Quand faut-il passer d’un beta OLS à un beta dynamique ?

Lorsque la question n’est plus « quel est le beta moyen ? » mais « comment le beta évolue-t-il aujourd’hui et demain ? ».

À quoi sert le modèle de Nelson-Siegel ?

À représenter une courbe de taux avec seulement trois facteurs principaux : niveau, pente et courbure.

Quelle est la formule de Nelson-Siegel dans la fiche ?

R(0, θ) = β₀ + β₁ × A + β₂ × (A − e⁻ᶿ⁄ᵗ)

avec A = (1 − e⁻ᶿ⁄ᵗ)/(θ/τ)

Que représente β₀ dans le modèle de Nelson–Siegel ?

Le niveau de long terme de la courbe, ou level.

Que représente β₁ dans le modèle de Nelson–Siegel ?

La pente : son effet est fort aux maturités courtes puis décroît avec la maturité.

Que représente β₂ dans le modèle de Nelson–Siegel ?

La courbure : une composante en bosse surtout visible aux maturités intermédiaires.

Que contrôle τ dans le modèle de Nelson–Siegel ?

La vitesse de décroissance et la localisation de la bosse de courbure.

Comment rendre Nelson-Siegel dynamique ?

On fait évoluer ses facteurs : Fₜ = M·Fₜ₋₁ + F̄ + vₜ, avec une équation d’observation Xₜ = B·Fₜ + wₜ.

Qu’est-ce qu’un State-Space Model ou SSM ?

Un modèle dynamique comportant une équation de transition pour un état caché et une équation de mesure reliant cet état aux observations.

Quelles sont les deux équations générales d’un SSM linéaire ?

Transition : Xₜ = Mₜ·Xₜ₋₁ + Cₜ + vₜ.

Mesure : Yₜ = Oₜ·Xₜ + Dₜ + wₜ.

Que représentent Qₜ et Hₜ dans un SSM ?

Qₜ = Var(vₜ) : incertitude de l’état ; Hₜ = Var(wₜ) : incertitude de mesure.

Quelle différence entre Xₜ et Yₜ ?

Xₜ est l’état latent, potentiellement inobservable ; Yₜ est la variable observée.

À quoi sert l’équation de transition ?

À décrire comment l’état latent évolue avant de voir la nouvelle observation.

À quoi sert l’équation de mesure ?

À décrire comment l’état latent génère la variable observée.

Pourquoi les SSM sont-ils très généraux ?

Ils peuvent représenter AR/VAR, facteurs latents, coefficients variables dans le temps, courbes de taux, volatilité latente et régimes cachés.

Un AR(p) peut-il être écrit comme un SSM ?

Oui, grâce notamment à une représentation avec matrice compagnon.