Flashcards - Fonction polynôme du second degré

Flashcards de vocabulaire et définitions essentielles sur le chapitre des fonctions polynômes du second degré en Première Spécialité Mathématiques.

Al-Khawarizmi

Mathématicien arabe du IXe siècle dont l'ouvrage le plus fameux écrit en $825$, intitulé kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa’l-muqābalah, est à l'origine du mot « algèbre ».

Fonction polynôme du second degré

Fonction définie sur $\bar{\mathbb{R}}$ par une expression de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels tels que $a \neq 0$.

Parabole

Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré. Elle est orientée « vers le haut » si $a > 0$ et « vers le bas » si $a < 0$.

Sommet d'une parabole

Le point le plus bas (si $a > 0$) ou le point le plus haut (si $a < 0$) d'une parabole. Ses coordonnées sont $\\\left(-\\frac{b}{2a} \,; f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)\\\right)$.

Racine d'une fonction polynôme du second degré

Tout réel $u$ tel que $f(u) = 0$. Ce sont les valeurs qui annulent la fonction et sont les solutions de l'équation $f(x) = 0$.

Forme canonique

Écriture d'une fonction polynôme du second degré où la variable $x$ n'apparaît qu'une seule fois, donnée par $f(x) = a\\left[\\left(x + \\frac{b}{2a}\\right)^2 - \\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\\right]$.

Discriminant ($\\Delta$)

Pour une fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$, il s'agit de la quantité $\\Delta = b^2 - 4ac$.

Solutions de $ax^2 + bx + c = 0$ si $\\Delta > 0$

L'équation admet deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}$.

Solution de $ax^2 + bx + c = 0$ si $\\Delta = 0$

L'équation admet une seule solution dite « double » : $x_0 = \\frac{-b}{2a}$.

Solutions de $ax^2 + bx + c = 0$ si $\\Delta < 0$

L'équation n'admet aucune solution réelle.

Factorisation d'une fonction polynôme du second degré

Si $\\Delta > 0$, $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ; si $\\Delta = 0$, $f(x) = a(x - x_0)^2$ ; si $\\Delta < 0$, $f$ ne se factorise pas dans $\\mathbb{R}$.

Somme et produit des racines

Pour une équation $ax^2 + bx + c = 0$ admettant deux racines, la somme est $S = -\\frac{b}{a}$ et le produit est $P = \\frac{c}{a}$, permettant d'écrire $ax^2 + bx + c = a(x^2 - Sx + P)$.

Signe d'une fonction polynôme du second degré ($\\Delta > 0$)

La fonction est du signe de $-a$ entre ses deux racines (à l'intérieur) et du signe de $a$ à l'extérieur des racines.

Représentations graphiques des paraboles selon $\\Delta$ et $a$

Synthèse visuelle de l'orientation de la parabole et du nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses selon les signes de $a$ et de $\\Delta$.