Chpt 2: Récurrence et Limites de Suites PAS FINI, CONTRÔLE OCT 15

MÉTHODE: Démonstrations par récurrence

DEF: Suite converge, suite diverge

suite converge: tend vers un nb. fini (une constante)

suite diverge: tend vers + ou - infini, ou n’a pas de limite

Limite de la suite $Un=\sqrt{n}$

$$+\infty$$

Limite de la suite $Un=n$

$$+\infty$$

Limite de la suite $Un=e^{n}$

$$+\infty$$

Limite de la suite $Un=n^{k}$

$$+\infty$$

Limite de la suite $Un=\frac{1}{\sqrt{n}}$

$$\lim_{n\to+\infty}Un=0$$

Limite de la suite $Un=\frac{1}{e^{n}}$

$$\lim_{n\to+\infty}Un=0$$

Limite de la suite $Un=\frac{1}{n}$

$$\lim_{n\to+\infty}Un=0$$

Limite de la suite $Un=\frac{1}{n^{k}}$

$$\lim_{n\to+\infty}Un=0$$

On a:

LIM Un = L

LIM Vn = L’

$\lim_{n\to+\infty}Un+Vn=\ldots$ ?

$$L+L^{\prime}$$

On a:

LIM Un = L (signe quelconque)

LIM $Vn=\pm\infty$

$\lim_{n\to+\infty}Un+Vn=\ldots$ ?

$$\pm\infty$$

On a;

LIM Un =$+\infty$

LIM $Vn=+\infty$

$\lim_{n\to+\infty}Un+Vn=\ldots$ ?

$$+\infty$$

On a;

LIM $Un=-\infty$

LIM $Vn=-\infty$

$\lim_{n\to+\infty}Un+Vn=\ldots$ ?

$$-\infty$$

On a;

LIM Un =$+\infty$

LIM $Vn=-\infty$

$\lim_{n\to+\infty}Un+Vn=\ldots$ ?

FORME INDÉTERMINÉE

On a;

LIM $Un=L$

LIM $Vn=L^{\prime}$

$\lim_{n\to+\infty}Un\cdot Vn=\ldots$ ?

$$L\cdot L^{\prime}$$

On a;

LIM $Un=\pm L\left(\ne0\right)$

LIM $Vn=\pm\infty$

$\lim_{n\to+\infty}Un\cdot Vn=\ldots$ ?

$\pm\infty$ (on aplique la règle des signes)

On a;

LIM $Un=\pm\infty$

LIM $Vn=\pm\infty$

$\lim_{n\to+\infty}Un\cdot Vn=\ldots$ ?

$\pm\infty$ (infini, on aplique la règle des signes)

On a;

LIM $Un=0$

LIM $Vn=\pm\infty$

$\lim_{n\to+\infty}Un\cdot Vn=\ldots$ ?

FORME INDÉTERMINÉE

On a;

LIM $Un=L$

LIM $Vn=L^{\prime}\left(\ne0\right)$

$\lim_{n\to+\infty}\frac{Un}{Vn}=\ldots$ ?

$$\frac{L}{L^{\prime}}$$

On a;

LIM $Un=L$

LIM $Vn=\pm\infty$

$\lim_{n\to+\infty}\frac{Un}{Vn}=\ldots$ ?

0

On a;

LIM $Un=\pm\infty$

LIM $Vn=\pm L$

$\lim_{n\to+\infty}\frac{Un}{Vn}=\ldots$ ?

$\pm\infty$ (règle des signes)

On a;

LIM $Un=\pm\infty$

LIM $Vn=\pm\infty$

$\lim_{n\to+\infty}\frac{Un}{Vn}=\ldots$ ?

FORME INDÉTERMINÉE

On a;

LIM $Un=\pm L\left(\ne0\right)$

LIM $Vn=0^{\pm}$ ( 0 en restant positif / en restant négatif)

$\lim_{n\to+\infty}\frac{Un}{Vn}=\ldots$ ?

$\pm\infty$ (appliquer la règle des signes)

On a;

LIM $Un=\pm\infty$

LIM $Vn=0^{\pm}$ ( 0 en restant positif / en restant négatif)

$\lim_{n\to+\infty}\frac{Un}{Vn}=\ldots$ ?

$\pm\infty$ (appliquer la règle des signes)

On a;

LIM $Un=0$

LIM $Vn=0$

$\lim_{n\to+\infty}\frac{Un}{Vn}=\ldots$ ?

FORME INDÉTERMINÉE

MOYENS RAPIDE DE TROUVER LE LIMITE D’UN QUOTIENT DE DEUX SUITES (5)

$$\frac{\infty}{L}\to\infty$$

$$\frac{L}{\infty}\to0$$

$\frac{L\left(\ne0\right)}{0}\to\infty$

=> verifier cela, puis appliquer la règle des signes

$$\frac{\infty}{\infty}\to FI$$

$$\frac00\to FI$$

Soit q un réel tel que q >1

$\lim_{n\to+\infty}q^{n}=$ … ?

$$+\infty$$

Soit q un réel tel que q = 1

$\lim_{n\to+\infty}q^{n}=$ … ?

1

Soit q un réel tel que q <= -1

$\lim_{n\to+\infty}q^{n}=$ … ?

PAS DE LIMITE

Soit q un réel tel que -1 < q <1

$\lim_{n\to+\infty}q^{n}=$ … ?

0

Astuce pour trouver une limite si on a une forme indeterminée

POLYNOMES → factoriser le terme de PLUS HAUT degré

QUOTIENTS → essayer de transformer en quotient (qui lui n’est pas sous une forme indéterminée)

DEF: Théorèmes de comparaison

Si, à partir d'un certain rang, un ≥ vn

et si lim vn = +∞, alors lim un = +∞.

Si, à partir d'un certain rang, un ≤ vn

et si lim vn = -∞, alors lim un = -∞.

ATTENTION aux sens des < et > (si plus petit que plus infini ou plus grand que moins infini alors cela ne veux rien dire)

RÉDACTION: Toujours écrire “D’après les théorèmes de comparaison…”

DEF: Théorème des gendarmes

Si, à partir d'un certain rang, un ≤ vn ≤ wn

et si lim un = lim wn = L (L réel),

alors (vn) converge aussi et lim vn = L.

ATTENTION: Que pour les limites FINIES → si on est entre ds infinies, il est question de théorèmes de COMPARAISON

RÉDACTION: Toujours écrire “D’après le théorème des gendarmes…”