Matrices et déterminants - Algèbre 4

Terme général de Eij

delta ik delta jl

Dimensions de L(E,F) et Mnp(K)

dim(E)*dim(F) et n*p

Terme général du produit AB

Somme pour k de 1 à n des aik*bkj

Lien matrice inversible et matrice de passage

Toute matrice inversible est une matrice de passage

Sous anneaux usuels de Mn(K)

Tn(K) matrices triangulaires supérieures d’ordre n

Tn’(K) matrices triangulaires inférieures d’ordre n

Dn(K) matrices diagonales d’ordre n

Déf matrice symétrique et antisymétrique

Symétrique si A^T=A, ie aji=aij

Antisymétrique si A^T=-A, ie aji=-aij

Décomposition en somme directe de Mn(K) + 2 démos

Mn(k)=Sn(K)+An(K) (somme directe)

Démonstration par analyse synthèse, M=(M+M^T)/2 + (M-M^T)/2, mq qu’il existe puis vérifier, et s’il existe il est unique

Démonstration en utilisant le faire que l’application de transposition est une symétrie (de Mn(K) dans Mn(K) et (M^T)^T=M) donc d’après la décomposition de l’espace pour les symétries, Mn(K)=Ker(s-id)+Ker(s+id), or Ker(s-id)=l’ensemble des M tq M^T=M donc Sn(K) et l’autre=An(K) donc on a bien la décomposition avec la somme directe)

Méthodes d’inversion d’une matrice

n=2 : comatrice

n>=3 : résolution A(x y z)=(X Y Z) pour avoir (x y z)=A^-1(X Y Z)

Déf matrices A et B semblables

Il existe P dans GLn(K) tq B=P^-1AP

Seule matrice semblable à alpha*In ?

alpha*In

Déf matrice de passage de la B vers B’

Coordonnées de la base B’ exprimées dans la base B. P de B vers B’ = Mat (indice B)(B’) = Mat (indice B’,B) (id)

Déf matrices semblables

Soit u endo, soit P matrice de passage de la base A à la base A’, M=Mat(indice A)(u) et M’=Mat(indice A’)(u), alors M’=P^-1MP

Propriété trace

Deux matrices semblables ont même trace ie Tr(P^-1MP)=Tr(M)

Trace d’un projecteur en dimension finie

tr(p)=rg(p)

Rang de M

Le rang de M est égal à l’ordre maximum des sous matrices carrées de M inversibles

Déf de f antisymétrique

f(x simga(1),…,x sigma(n))=epsilon de sigma * f(x1,…,xn)

Déf de f alternée

S’annule sur tout n-uplet ayant au moins deux vecteurs égaux, ie f(…x…x…)=0

Formule théorique du déterminant + conséquence

Il est polynomial en les coefficients de la matrice, donc il est continu

Propriétés du déterminant

Si M est triangulaire, le déterminant est le produit des coefficients diagonaux

det(M^T)=det(M)

det(MN)=det(M)det(N)

det(M^-1)=det(M)^-1

Qu’ont en commun deux matrices semblables ?

Même trace, même déterminant, même rang

Déf et formule de la comatrice

Com(M) est la matrice de terme général Cij avec Cij=(-1)^(i+j)Dij et Dij est le déterminant d’ordre n-1 obtenu en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne de M

M(Com(M))^T=(Com(M))^TM=det(M)In

Déterminant de Vandermonde + CONNAITRE LA DEMO

Produit des (aj-ai) pour 1<=i<j<=n

Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs + preuve

Si M=(A C 0 B) (matrice carrée) avec A dans Mp(K), B dans Mq(K) et C dans Mpq(K), alors det(M)=det(A)det(B)

Preuve : M=(Ip 0 0 B)(Ip C 0 Iq)(A 0 0 Iq) et ensuite on calcule det(M)

Polynôme caractéristique d’une matrice compagnon + CONNAITRE LA DEMO

Le polynôme caractéristique d’une matrice compagnon est le polynôme unitaire dont elle porte les coefficients

Méthode pour calculer un déterminant tridiagonal

Développer par rapport à la première ligne puis par rapport à la première colonne. Prolonger la relation de récurrence en zéro de manière à avoir D(0)=1 (par convention), c’est plus simple pour résoudre le système pour trouver lambda et mu dans notre solution

EijEkl

djkEil

Multiplication à gauche de A par Eij

Garde la j-ème ligne et la place en position i des lignes, tout le reste sont des zéros

Multiplication à droite de A par Eij

Garde la i-ème colonne et la place en position j des colonnes, tout le reste sont des zéros

Matrices de transvection

Transvection : Tij(lambda)=In+lambdaEij

Tij(lambda)A ajoute lambda fois la ligne j à la ligne i, et ATij(lambda) ajoute lambda fois la colonne i à la colonne j

Matrices de dilatation

Dilatation : Dij(lambda)=In+(alpha-1)Eii

Di(alpha)A multiplie la ligne i par alpha

ADj(alpha) multiplie la colonne j par alpha

Matrices de permutation

PijA échange les lignes i et j

APij échange les colonnes i et j